Tiếp tuyến của đường tròn

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

2 tiếp tuyến cắt nhau từ 1 điểm

Từ 1 điểm $A$ ngoài $(O)$, kẻ 2 tiếp tuyến đến $(O)$, tiếp điểm $B, C$. Khi đó:

$AB = AC$ (2 tiếp tuyến bằng nhau).
$AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.
$OA$ là đường trung trực của $BC$.
$OA$ là tia phân giác của $\widehat{BOC}$.

§2. Tính chất(2)

2.1

Tiếp tuyến — định nghĩa + tính chất

Tiếp tuyến = đường thẳng có 1 điểm chung duy nhất với đường tròn (tiếp điểm). Tính chất: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. $d(O, \text{tiếp tuyến}) = R$.

2.2

Độ dài tiếp tuyến từ điểm ngoài

Cho $(O; R)$, điểm $A$ ngoài đường tròn với $OA = d$. Độ dài tiếp tuyến từ $A$: $$AT = \sqrt{d^2 - R^2} \, (d > R).$$ (Dùng Pythagore trong tam giác vuông $OAT$ vuông tại $T$.)

§3. Phương pháp(1)

3.1

Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến

Cách 1. Chứng minh đường thẳng có 1 điểm chung với đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó. Cách 2. Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng = bán kính: $d = R$. Cách 3. Dùng góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây = góc nội tiếp chắn cung kia. Trong hình học toạ độ: $d(I, \Delta) = R$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng vuông góc để khai thác

Khi gặp 'tiếp tuyến tại $T$': nhớ $OT \perp$ tiếp tuyến → tam giác vuông tại $T$. → Dùng Pythagore + các tỉ số lượng giác để tính cạnh, góc. Nhiều bài chìa khoá nằm ở việc nhận ra tam giác vuông này.

Bài tập

1. Dây nối hai tiếp điểm: $AB = \dfrac{2R\sqrt{d^2-R^2}}{d}$Trắc nghiệm`chord_between_two_tangents_from_external_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Cho đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 20$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 29$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ tới $(O)$ ($A,\,B$ là các tiếp điểm). Tính độ dài đoạn dây $AB$.

Đường tròn (O; R=20); điểm M ngoài cách tâm O khoảng 29; hai tiếp tuyến MA, MB và dây AB.

A.$AB = \dfrac{120}{7}$

B.$AB = \dfrac{420}{29}$

C.$AB = \dfrac{840}{29}$

D.$AB = \dfrac{21}{2}$

Câu 2.Cho đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 10$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 26$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ tới $(O)$ ($A,\,B$ là các tiếp điểm). Tính độ dài đoạn dây $AB$.

Đường tròn (O; R=10); điểm M ngoài cách tâm O khoảng 26; hai tiếp tuyến MA, MB và dây AB.

A.$AB = \dfrac{240}{13}$

B.$AB = 12$

C.$AB = \dfrac{120}{13}$

D.$AB = \dfrac{40}{3}$

Câu 3.Cho đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 20$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 25$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ tới $(O)$ ($A,\,B$ là các tiếp điểm). Tính độ dài đoạn dây $AB$.

Đường tròn (O; R=20); điểm M ngoài cách tâm O khoảng 25; hai tiếp tuyến MA, MB và dây AB.

A.$AB = \dfrac{40}{3}$

B.$AB = 24$

C.$AB = \dfrac{15}{2}$

D.$AB = 12$

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn dựa vào khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng so với $R$Trắc nghiệm`line_circle_position`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ của đường tròn bán kính $8$ một khoảng $d = 8$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và đường tròn:

A.Đường thẳng không cắt đường tròn.

B.Đường thẳng trùng với đường tròn.

C.Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

D.Đường thẳng cắt đường tròn (cát tuyến).

Câu 5.Đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ của đường tròn bán kính $9$ một khoảng $d = 11$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và đường tròn:

A.Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

B.Đường thẳng cắt đường tròn (cát tuyến).

C.Đường thẳng trùng với đường tròn.

D.Đường thẳng không cắt đường tròn.

Câu 6.Đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ của đường tròn bán kính $10$ một khoảng $d = 8$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và đường tròn:

A.Đường thẳng không cắt đường tròn.

B.Đường thẳng cắt đường tròn (cát tuyến).

C.Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

D.Đường thẳng trùng với đường tròn.

3. Phương tích: $MA^2 = MC \cdot MD$ (tiếp tuyến + cát tuyến)Trắc nghiệm`power_of_point_tangent_secant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho đường tròn $(O)$, một điểm $M$ nằm ngoài $(O)$. Vẽ tiếp tuyến $MA$ với $A$ là tiếp điểm và một cát tuyến đi qua $M$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$). Biết $MA = 10$ và $MC = 5$. Tính độ dài dây $CD$.

Đường tròn (O); M ngoài (O); tiếp tuyến MA = 10; cát tuyến cắt (O) tại C (gần M) và D (xa hơn), MC = 5.

A.$CD = 15$

B.$CD = 5$

C.$CD = 20$

D.$CD = 2$

Câu 8.Cho đường tròn $(O)$, một điểm $M$ nằm ngoài $(O)$. Vẽ tiếp tuyến $MA$ với $A$ là tiếp điểm và một cát tuyến đi qua $M$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$). Biết $MA = 12$ và $MC = 4$. Tính độ dài dây $CD$.

Đường tròn (O); M ngoài (O); tiếp tuyến MA = 12; cát tuyến cắt (O) tại C (gần M) và D (xa hơn), MC = 4.

A.$CD = 32$

B.$CD = 36$

C.$CD = 8$

D.$CD = 16$

Câu 9.Cho đường tròn $(O)$, một điểm $M$ nằm ngoài $(O)$. Vẽ tiếp tuyến $MA$ với $A$ là tiếp điểm và một cát tuyến đi qua $M$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$). Biết $MA = 6$ và $MC = 4$. Tính độ dài dây $CD$.

Đường tròn (O); M ngoài (O); tiếp tuyến MA = 6; cát tuyến cắt (O) tại C (gần M) và D (xa hơn), MC = 4.

A.$CD = 10$

B.$CD = 5$

C.$CD = 2$

D.$CD = 9$

4. Quan sát hình vẽ đường tròn (O; r) + điểm M ngoài + tiếp tuyến tại ATrắc nghiệm`tangent_length_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Quan sát hình vẽ đường tròn $(O; r)$ và tiếp tuyến từ điểm $M$ ngoài đến tiếp điểm $A$ trong hình. Tính độ dài $MA$.

Đường tròn (O;6) + tiếp tuyến từ M (OM=10)

A.$MA = 8$

B.$MA = 16$

C.$MA = 4$

D.$MA = 9$

Câu 11.Quan sát hình vẽ đường tròn $(O; r)$ và tiếp tuyến từ điểm $M$ ngoài đến tiếp điểm $A$ trong hình. Tính độ dài $MA$.

Đường tròn (O;8) + tiếp tuyến từ M (OM=17)

A.$MA = 16$

B.$MA = 25$

C.$MA = 15$

D.$MA = 9$

Câu 12.Quan sát hình vẽ đường tròn $(O; r)$ và tiếp tuyến từ điểm $M$ ngoài đến tiếp điểm $A$ trong hình. Tính độ dài $MA$.

Đường tròn (O;6) + tiếp tuyến từ M (OM=10)

A.$MA = 16$

B.$MA = 9$

C.$MA = 8$

D.$MA = 4$

5. Tính độ dài tiếp tuyến $MA$ với $OM = d, OA = r$ (bán kính): $MA = \sqrt{d^2 - r^2}$Trắc nghiệm`tangent_length_from_outer_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho đường tròn $(O; 5)$ và điểm $M$ với $OM = 13$. Tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn tiếp xúc tại $A$. Tính $MA$.

A.$MA = 8$

B.$MA = 18$

C.$MA = 13$

D.$MA = 12$

Câu 14.Cho đường tròn $(O; 8)$ và điểm $M$ với $OM = 17$. Tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn tiếp xúc tại $A$. Tính $MA$.

A.$MA = 15$

B.$MA = 16$

C.$MA = 9$

D.$MA = 25$

Câu 15.Cho đường tròn $(O; 9)$ và điểm $M$ với $OM = 15$. Tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn tiếp xúc tại $A$. Tính $MA$.

A.$MA = 6$

B.$MA = 12$

C.$MA = 24$

D.$MA = 13$

6. Cho $(O; R)$ và điểm $M$ ngoài — kiểm tra tính chất tiếp tuyếnĐúng / Sai`tangent_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho đường tròn $(O; R = 3)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 5$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A, B$ là tiếp điểm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$MA = OM - OA = 2$.

b)$M$ nằm trên đường tròn $(O; R)$.

c)Hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ kẻ từ $M$ có độ dài bằng nhau.

d)Tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

Câu 17.Cho đường tròn $(O; R = 6)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 10$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A, B$ là tiếp điểm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$M$ nằm trên đường tròn $(O; R)$.

b)$MA = MB = 8$.

c)$MA = OM - OA = 4$.

d)Tia $OM$ là phân giác của góc $\widehat{AOB}$.

Câu 18.Cho đường tròn $(O; R = 5)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 13$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A, B$ là tiếp điểm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$M$ nằm trên đường tròn $(O; R)$.

b)$MA = OM - OA = 8$.

c)Hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ kẻ từ $M$ có độ dài bằng nhau.

d)Tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

7. Cho khoảng cách tâm-đường thẳng cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`tangent_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường tròn $(O; R = 4)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ khoảng $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn.

b)Đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn tại 2 điểm.

c)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm gọi là cát tuyến.

d)Đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn.

Câu 20.Cho đường tròn $(O; R = 4)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ khoảng $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn tại 2 điểm.

b)Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

c)Đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn.

d)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm gọi là cát tuyến.

Câu 21.Cho đường tròn $(O; R = 6)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ khoảng $3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến bằng bán kính.

b)Đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn.

c)Đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn tại 2 điểm.

d)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm gọi là cát tuyến.

8. VDC (HSG/chuyên): Cho $(O)$ và điểm $K$ ngoài đường trònĐúng / Sai`tangent_secant_power_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 8$ và điểm $K$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OK = 17$. Từ $K$ vẽ hai tiếp tuyến $KA, KB$ với đường tròn ($A, B$ là các tiếp điểm) và một cát tuyến $KCD$ ($C$ nằm giữa $K$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm của $OK$ và $AB$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Tứ giác $KAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $KO$.

b)Bốn điểm $C, M, O, D$ cùng thuộc một đường tròn.

c)Diện tích tứ giác $KAOB$ bằng $KA \cdot R = 120$.

d)Đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $KO$.

Câu 23.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 5$ và điểm $K$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OK = 13$. Từ $K$ vẽ hai tiếp tuyến $KA, KB$ với đường tròn ($A, B$ là các tiếp điểm) và một cát tuyến $KCD$ ($C$ nằm giữa $K$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm của $OK$ và $AB$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$KA^2 = KM \cdot KO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $KAO$).

b)$KA^2 = KC \cdot KD$ (phương tích của $K$ đối với $(O)$).

c)Tứ giác $KAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $KO$.

d)$KA = KO - R = 8$.

Câu 24.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 6$ và điểm $K$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OK = 10$. Từ $K$ vẽ hai tiếp tuyến $KA, KB$ với đường tròn ($A, B$ là các tiếp điểm) và một cát tuyến $KCD$ ($C$ nằm giữa $K$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm của $OK$ và $AB$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$KA = KO - R = 4$.

b)Tia $KO$ là phân giác trong của góc $\widehat{CKD}$.

c)Diện tích tứ giác $KAOB$ bằng $KA \cdot R = 48$.

d)$OK \perp AB$ và $M$ là trung điểm của $AB$.

9. TF "đúng/sai" cho đường tròn (O;r) + tiếp tuyến từ điểm M ngoài, kèm hìnhĐúng / Sai`tangent_tf_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho đường tròn $(O; r = 6)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 10$, kèm hai tiếp tuyến $MA, MB$ ($A, B$ là tiếp điểm) như hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

(O;6) + 2 tiếp tuyến từ M (OM=10)

a)Hai tiếp tuyến từ điểm $M$ có độ dài bằng nhau.

b)$MA = MB = 8$.

c)$M$ nằm trên đường tròn $(O; r)$.

d)Tia $OM$ là phân giác của góc $\widehat{AOB}$.

Câu 26.Cho đường tròn $(O; r = 5)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 13$, kèm hai tiếp tuyến $MA, MB$ ($A, B$ là tiếp điểm) như hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

(O;5) + 2 tiếp tuyến từ M (OM=13)

a)$MA = MB = 12$.

b)Tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

c)$MA = OM - OA = 8$.

d)Tia $OM$ vuông góc với $AB$.

Câu 27.Cho đường tròn $(O; r = 5)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn với $OM = 13$, kèm hai tiếp tuyến $MA, MB$ ($A, B$ là tiếp điểm) như hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

(O;5) + 2 tiếp tuyến từ M (OM=13)

a)Hai tiếp tuyến từ điểm $M$ có độ dài bằng nhau.

b)$MA = MB = 12$.

c)$M$ nằm trên đường tròn $(O; r)$.

d)Tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

10. Cho $(O; R)$ và $A$ ngoài, $OA = d$Trả lời ngắn`tangent_length`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Đường tròn $(O; 5)$ cm và $A$ ngoài đường tròn với $OA = 13$ cm. Tính độ dài tiếp tuyến từ $A$ đến $(O)$.

Câu 29.Đường tròn $(O; 9)$ cm và $A$ ngoài đường tròn với $OA = 15$ cm. Tính độ dài tiếp tuyến từ $A$ đến $(O)$.

Câu 30.Đường tròn $(O; 6)$ cm và $A$ ngoài đường tròn với $OA = 10$ cm. Tính độ dài tiếp tuyến từ $A$ đến $(O)$.

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Tính chất(2)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Dây nối hai tiếp điểm: $AB = \dfrac{2R\sqrt{d^2-R^2}}{d}$Trắc nghiệmchord_between_two_tangents_from_external_point(3 câu)

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn dựa vào khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng so với $R$Trắc nghiệmline_circle_position(3 câu)

3. Phương tích: $MA^2 = MC \cdot MD$ (tiếp tuyến + cát tuyến)Trắc nghiệmpower_of_point_tangent_secant(3 câu)

4. Quan sát hình vẽ đường tròn (O; r) + điểm M ngoài + tiếp tuyến tại ATrắc nghiệmtangent_length_from_figure(3 câu)

5. Tính độ dài tiếp tuyến $MA$ với $OM = d, OA = r$ (bán kính): $MA = \sqrt{d^2 - r^2}$Trắc nghiệmtangent_length_from_outer_point(3 câu)

6. Cho $(O; R)$ và điểm $M$ ngoài — kiểm tra tính chất tiếp tuyếnĐúng / Saitangent_facts(3 câu)

7. Cho khoảng cách tâm-đường thẳng cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Saitangent_facts2(3 câu)

8. VDC (HSG/chuyên): Cho $(O)$ và điểm $K$ ngoài đường trònĐúng / Saitangent_secant_power_facts(3 câu)

9. TF "đúng/sai" cho đường tròn (O;r) + tiếp tuyến từ điểm M ngoài, kèm hìnhĐúng / Saitangent_tf_from_figure(3 câu)

10. Cho $(O; R)$ và $A$ ngoài, $OA = d$Trả lời ngắntangent_length(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Dây nối hai tiếp điểm: $AB = \dfrac{2R\sqrt{d^2-R^2}}{d}$Trắc nghiệm`chord_between_two_tangents_from_external_point`(3 câu)

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn dựa vào khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng so với $R$Trắc nghiệm`line_circle_position`(3 câu)

3. Phương tích: $MA^2 = MC \cdot MD$ (tiếp tuyến + cát tuyến)Trắc nghiệm`power_of_point_tangent_secant`(3 câu)

4. Quan sát hình vẽ đường tròn (O; r) + điểm M ngoài + tiếp tuyến tại ATrắc nghiệm`tangent_length_from_figure`(3 câu)

5. Tính độ dài tiếp tuyến $MA$ với $OM = d, OA = r$ (bán kính): $MA = \sqrt{d^2 - r^2}$Trắc nghiệm`tangent_length_from_outer_point`(3 câu)

6. Cho $(O; R)$ và điểm $M$ ngoài — kiểm tra tính chất tiếp tuyếnĐúng / Sai`tangent_facts`(3 câu)

7. Cho khoảng cách tâm-đường thẳng cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`tangent_facts2`(3 câu)

8. VDC (HSG/chuyên): Cho $(O)$ và điểm $K$ ngoài đường trònĐúng / Sai`tangent_secant_power_facts`(3 câu)

9. TF "đúng/sai" cho đường tròn (O;r) + tiếp tuyến từ điểm M ngoài, kèm hìnhĐúng / Sai`tangent_tf_from_figure`(3 câu)

10. Cho $(O; R)$ và $A$ ngoài, $OA = d$Trả lời ngắn`tangent_length`(3 câu)