Công thức
§1. Phương pháp(2)
Định vị bằng nhiều mặt cầu (GPS)
Khoảng cách min từ đường thẳng đến mặt cầu
- $d > R$: $\Delta$ ngoài mặt cầu, khoảng cách min điểm-mặt = $d - R$.
- $d = R$: $\Delta$ tiếp xúc.
- $d < R$: $\Delta$ cắt mặt cầu (2 giao điểm).
§2. Mẹo(1)
Mẹo: trừ 2 phương trình mặt cầu → mặt phẳng
Bài tập
1. Vận dụng cao. Cho điểm $A$ và đường thẳng $d$ trong không gian $Oxyz$Trắc nghiệmclosest_point_on_line(3 câu)
Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; 3; 0)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0; 3; 2)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 3 \\ z = 5 - t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-5; -1; 1)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = -3 \\ y = -2 + t \\ z = t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
2. Vận dụng cao (đảo ngược + đếm). Cho tâm $I$ và hai bức tường phẳng song song $(P_1), (P_2)$ (cùng vectơ pháp tuyến $\vec n$)Trắc nghiệmcount_integer_radii_sphere_two_regions_mc(3 câu)
Câu 4.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một quả cầu đèn tâm $I(-3; 2; 2)$ được treo giữa hai bức tường phẳng song song $(P_1): 2x + y + 2z + 9 = 0$ và $(P_2): 2x + y + 2z + 45 = 0$. Hỏi có bao nhiêu giá trị bán kính nguyên $R$ (m) để mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ cắt tường $(P_1)$ nhưng chưa chạm tới tường $(P_2)$?
Câu 5.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một quả cầu đèn tâm $I(-3; -1; -2)$ được treo giữa hai bức tường phẳng song song $(P_1): -x - 2y - 2z + 9 = 0$ và $(P_2): -x - 2y - 2z + 27 = 0$. Hỏi có bao nhiêu giá trị bán kính nguyên $R$ (m) để mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ cắt tường $(P_1)$ nhưng chưa chạm tới tường $(P_2)$?
Câu 6.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một quả cầu đèn tâm $I(1; 1; 2)$ được treo giữa hai bức tường phẳng song song $(P_1): 3y + 4z + 39 = 0$ và $(P_2): 3y + 4z + 89 = 0$. Hỏi có bao nhiêu giá trị bán kính nguyên $R$ (m) để mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ cắt tường $(P_1)$ nhưng chưa chạm tới tường $(P_2)$?
3. Vận dụng cao. Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1, d_2$ trong không gian $Oxyz$Trắc nghiệmdistance_two_skew_lines_3d(3 câu)
Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 + 2s \\ z = 4 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = 3 \\ z = -2 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -5 \\ y = 1 \\ z = -1 + s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -1 + t \\ y = -1 \\ z = 3 + t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -1 + s \\ y = 2 \\ z = 5 - s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
4. Drone bay theo đường thẳng đi qua 2 vật cản hình cầuTrắc nghiệmdrone_avoid_2_obstacles(3 câu)
Câu 10.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(2; 2; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 0; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 3)^2 + (y - 10)^2 + (z - 7)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 10)^2 + (y - 8)^2 + (z - 9)^2 = 4$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
Câu 11.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(1; 2; 2)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 0; 1)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 7)^2 = 16$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
Câu 12.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(2; 2; 2)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 0; 1)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 6)^2 + (y - 5)^2 + (z - 7)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 6)^2 + (y - 5)^2 + (z - 3)^2 = 9$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
5. Vận dụng cao. Cho điểm $A$ và mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$Trắc nghiệmfoot_of_perpendicular_to_plane(3 câu)
Câu 13.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-3; -2; 4)$ và mặt phẳng $(P): y + z = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 14.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0; 2; 3)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 2 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; 3; 5)$ và mặt phẳng $(P): y + z - 6 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
6. Định vị thiết bị GPS từ 4 vệ tinhTrắc nghiệmgps_4_satellites_position(3 câu)
Câu 16.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(7; 3; 8)$, $B(6; 5; 6)$, $C(12; 5; 3)$, $D(12; 1; 8)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 6$, $d_C = 9$, $d_D = 10$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 17.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(9; 3; 4)$, $B(7; 1; 4)$, $C(10; 5; 5)$, $D(3; 7; 9)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 5$, $d_C = 9$, $d_D = 10$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 18.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(9; 7; 5)$, $B(6; 16; 7)$, $C(4; 8; 11)$, $D(6; 4; 7)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 13$, $d_C = 9$, $d_D = 5$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
7. Vận dụng cao — họ tham số / đảo ngược. Cho điểm $A$ và họ mặt phẳng $(P_m): ax + by + cz + m = 0$ ($m$ là tham số)Trắc nghiệmparametric_plane_distance_condition_mc(3 câu)
Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; 2; -2)$ và họ mặt phẳng $(P_m): 3y + 4z + m = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm tổng tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách từ $A$ đến $(P_m)$ bằng $1$.
Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; 5; -3)$ và họ mặt phẳng $(P_m): 2x + y + 2z + m = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm tổng tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách từ $A$ đến $(P_m)$ bằng $2$.
Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(5; 3; 5)$ và họ mặt phẳng $(P_m): 2x + y + 2z + m = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm tổng tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách từ $A$ đến $(P_m)$ bằng $1$.
8. Mặt phẳng cách đều hai điểm $A, B$ — chính là mặt phẳng trung trực $AB$ (1 trong 2 trường hợp)Trắc nghiệmplane_equidistant_two_points(3 câu)
Câu 22.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-2;3;-3)$ và $B(0;-3;-1)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 23.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(3;3;-1)$ và $B(-1;1;3)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 24.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(0;3;1)$ và $B(-2;-3;3)$, và vuông góc với $AB$.
9. Vận dụng — đọc hình / đa biểu diễn. Một tấm pin mặt trời phẳng hình tam giác $ABC$ đặt nghiêng; cho toạ độ ba đỉnh (kèm hình 3D có thể vẽ bóng chiếu $A', B', C'$ xuống $Oxy$)Trắc nghiệmplane_normal_from_shadow_projection_mc(3 câu)
Câu 25.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một tấm pin mặt trời phẳng hình tam giác có ba đỉnh $A(-1; -2; 2)$, $B(1; -5; 0)$, $C(1; 0; 2)$ (xem hình). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa tấm pin.
Câu 26.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một tấm pin mặt trời phẳng hình tam giác có ba đỉnh $A(3; 1; 2)$, $B(6; -1; 4)$, $C(5; -2; 6)$ (xem hình). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa tấm pin.
Câu 27.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một tấm pin mặt trời phẳng hình tam giác có ba đỉnh $A(-1; 1; 1)$, $B(2; 4; 2)$, $C(0; 5; 1)$ (xem hình). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa tấm pin.
10. Cho $A, B$ và mặt phẳng $(P)$Trắc nghiệmpoint_on_plane_min_sum_sq_distance(3 câu)
Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;-3;1)$ và $B(-3;-1;3)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$ và $B(-2;2;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$ và $B(-2;1;1)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
11. Vận dụng cao. Cho điểm $I(a; b; c)$ là tâm mặt cầu, mặt phẳng $(P): \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$Trắc nghiệmsphere_tangent_to_plane(3 câu)
Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 4; 4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 4x + 3z + 9 = 0$.
Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; 2; 2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): -x - 4y - 8z + 107 = 0$.
Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2; 4; -2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 4x + 4y + 7z + 168 = 0$.
12. Vận dụng cao. Cho 4 đỉnh $A, B, C, D$ của tứ diện trong không gian $Oxyz$Trắc nghiệmtetrahedron_volume_3d(3 câu)
Câu 34.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2; -3; -1)$, $B(0; -1; -4)$, $C(0; -6; 0)$, $D(4; -2; -4)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
Câu 35.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-1; 2; 1)$, $B(-2; 1; 2)$, $C(0; 0; 0)$, $D(-4; 5; -1)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
Câu 36.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-3; 1; 4)$, $B(1; 0; 5)$, $C(1; 3; 3)$, $D(-6; 4; 6)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
13. Vận dụng cao (4 ý cố định). Một thiết bị lặn tự hành (AUV) đi theo đoạn thẳng từ $A$ đến $B$; khu vực nhạy cảm là mặt cầu $(S)$ tâm $K$, bán kính $R$Đúng / Saiauv_route_avoids_sphere_canonical_tf(1 câu)
Câu 37.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: hectomet), một thiết bị lặn tự hành (AUV) di chuyển thẳng từ $A(8; 6; 1)$ đến $B(4; -2; 2)$. Một khu vực nhạy cảm có dạng hình cầu $(S)$ tâm $K(2; -4; 2)$, bán kính $R=2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
14. Vận dụng cao. Một thùng/phòng hình hộp chữ nhật kích thước $a \times b \times c$ được gắn trục $Oxyz$ với một đỉnh tại gốc và ba cạnh dọc theo ba trụcĐúng / Saicoordinatize_box_model_facts_tf(3 câu)
Câu 38.Một thùng hàng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 5$, $AD = 3$, $AA' = 2$ (đơn vị: dm). Gắn hệ trục $Oxyz$ sao cho $A$ trùng gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ và $A'$ thuộc tia $Oz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 39.Một thùng hàng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 4$, $AD = 8$, $AA' = 6$ (đơn vị: dm). Gắn hệ trục $Oxyz$ sao cho $A$ trùng gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ và $A'$ thuộc tia $Oz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 40.Một thùng hàng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 6$, $AD = 4$, $AA' = 5$ (đơn vị: dm). Gắn hệ trục $Oxyz$ sao cho $A$ trùng gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ và $A'$ thuộc tia $Oz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
15. Vận dụng cao. Ba cột thẳng đứng cao $h_A, h_B, h_C$ dựng trên ba chân $A, B, C$; gắn trục $Oxyz$ với chân $A$ ở gốc, $B$ trên $Ox$, $C$ trên $Oy$Đúng / Saicoordinatize_roof_plane_angle_tf(3 câu)
Câu 41.Một mái nhà được đỡ bởi ba cột thẳng đứng dựng trên ba chân $A, B, C$. Gắn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị: mét) sao cho chân $A$ ở gốc tọa độ, chân $B(8; 0; 0)$ nằm trên tia $Ox$ và chân $C(0; 6; 0)$ nằm trên tia $Oy$. Ba cột tại $A, B, C$ cao lần lượt $h_A = 7$, $h_B = 4$, $h_C = 4$ (mét); ba đỉnh cột $A', B', C'$ xác định mặt phẳng mái. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 42.Một mái nhà được đỡ bởi ba cột thẳng đứng dựng trên ba chân $A, B, C$. Gắn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị: mét) sao cho chân $A$ ở gốc tọa độ, chân $B(8; 0; 0)$ nằm trên tia $Ox$ và chân $C(0; 8; 0)$ nằm trên tia $Oy$. Ba cột tại $A, B, C$ cao lần lượt $h_A = 8$, $h_B = 12$, $h_C = 7$ (mét); ba đỉnh cột $A', B', C'$ xác định mặt phẳng mái. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 43.Một mái nhà được đỡ bởi ba cột thẳng đứng dựng trên ba chân $A, B, C$. Gắn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị: mét) sao cho chân $A$ ở gốc tọa độ, chân $B(6; 0; 0)$ nằm trên tia $Ox$ và chân $C(0; 4; 0)$ nằm trên tia $Oy$. Ba cột tại $A, B, C$ cao lần lượt $h_A = 11$, $h_B = 7$, $h_C = 12$ (mét); ba đỉnh cột $A', B', C'$ xác định mặt phẳng mái. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
16. Vận dụng cao (4 ý cố định, bespoke). Bể cá hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ ($AD, AB, AA'$) gắn trục với $A\equiv O$Đúng / Saifish_tank_tilt_volume_arc_tf(1 câu)
Câu 44.Một bể cá cảnh có mô hình bên trong là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AD=4$ dm, $AB=8$ dm, $AA'=4$ dm. Gắn hệ trục $Oxyz$ với $O\equiv A$, tia $Ox$ trùng tia $AD$, tia $Oy$ trùng tia $AB$, tia $Oz$ trùng tia $AA'$. Khi nghiêng bể, mặt thoáng của nước là tứ giác $CBHK$ ($H, K$ lần lượt là trung điểm của $AA', DD'$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
17. Vận dụng cao. Một máy bay/drone bay thẳng đều từ $A$ theo VTCP đơn vị-hóa, một vùng nguy hiểm/phủ sóng là mặt cầu $(S)$Đúng / Saiflight_first_contact_sphere_tf(3 câu)
Câu 45.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một máy bay không người lái bay thẳng đều xuất phát từ $A(0; -40; 30)$ theo hướng vectơ $\overrightarrow{AB}$ với $B(160; -40; 150)$, tốc độ $v = 5$ km/phút. Một vùng nhiễu sóng có dạng mặt cầu $(S)$ tâm $I(116; -45; 117)$, bán kính $R = 3$ km. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 46.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một máy bay không người lái bay thẳng đều xuất phát từ $A(-40; -60; 20)$ theo hướng vectơ $\overrightarrow{AB}$ với $B(80; 30; 20)$, tốc độ $v = 10$ km/phút. Một vùng nhiễu sóng có dạng mặt cầu $(S)$ tâm $I(-8; -36; 26)$, bán kính $R = 10$ km. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 47.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một máy bay không người lái bay thẳng đều xuất phát từ $A(-20; -60; 40)$ theo hướng vectơ $\overrightarrow{AB}$ với $B(-20; 100; 160)$, tốc độ $v = 5$ km/phút. Một vùng nhiễu sóng có dạng mặt cầu $(S)$ tâm $I(-14; 8; 91)$, bán kính $R = 3$ km. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
18. Vận dụng cao (4 ý cố định). Khung backdrop là mặt phẳng $(P)$, quả cầu trang trí tâm $I$ bán kính $R$, flycam bay theo đường $\Delta$ qua $A$ với VTCP $\vec u$Đúng / Saiflycam_plane_sphere_weighted_min_tf(1 câu)
Câu 48.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một khung backdrop phẳng nằm dọc theo mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 15 = 0$. Phía trước khung, một quả cầu trang trí có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R=3$. Một flycam xuất phát từ điểm $A(13; -16; 9)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(-2; 3; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
19. Vận dụng cao (4 ý cố định). Máy bay hạ cánh đi thẳng từ $A$ đến $B$; lớp mây là mặt phẳng $(\alpha)$ qua ba điểm trên ba trục (dạng đoạn chắn), radar phủ vùng cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R$Đúng / Sailanding_plane_cloud_radar_coverage_tf(1 câu)
Câu 49.Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: km). Máy bay bắt đầu hạ cánh tại điểm $A(3; 3; 4)$ và chuyển động thẳng đều hướng về vị trí $B(3; 0; 0)$ trên đường băng. Tại tâm radar $O(0; 0; 0)$, sân bay thiết lập vùng phủ sóng là mặt cầu $(S)$ bán kính $R=5$ km. Máy bay phải xuyên qua lớp mây là mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(5; 0; 0)$, $N(0; 10; 0)$, $P(0; 0; 10)$. Gọi $C$ là vị trí máy bay bắt đầu xuyên qua đám mây. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
20. Vận dụng cao. Một drone bay thẳng đều, một vùng cầu $(S)$ và mặt đất $(Oxy)$Đúng / Sailine_sphere_reflection_minsum_tf(3 câu)
Câu 50.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), một drone bay thẳng đều từ $A(60; 50; 60)$ tới $B(180; 210; 60)$. Một vùng cầu nhiễu $(S)$ có tâm $I(96; 98; 56)$, bán kính $R = 2$. Một trạm mặt đất $K$ có thể đặt tùy ý trên mặt đất $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 51.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), một drone bay thẳng đều từ $A(50; 10; 50)$ tới $B(50; -140; 250)$. Một vùng cầu nhiễu $(S)$ có tâm $I(47; -68; 154)$, bán kính $R = 5$. Một trạm mặt đất $K$ có thể đặt tùy ý trên mặt đất $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 52.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), một drone bay thẳng đều từ $A(20; -60; 50)$ tới $B(20; 0; -30)$. Một vùng cầu nhiễu $(S)$ có tâm $I(17; -48; 34)$, bán kính $R = 5$. Một trạm mặt đất $K$ có thể đặt tùy ý trên mặt đất $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
21. Vận dụng cao. Một cabin/thiết bị chuyển động thẳng đều từ $A$ đến $B$ với tốc độ không đổi; một trạm phát sóng phủ vùng hình cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$Đúng / Sailinear_motion_to_sphere_coverage_tf(3 câu)
Câu 53.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin cáp treo chuyển động thẳng đều từ $A(-60; -40; 0)$ đến $B(-60; -70; 40)$ với tốc độ không đổi $v = 5$ m/s. Một trạm phát sóng đặt tại $I(-60; -54; 27)$ phủ một vùng hình cầu $(S)$ bán kính $R = 13$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 54.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin cáp treo chuyển động thẳng đều từ $A(-60; 0; 0)$ đến $B(-60; 80; 60)$ với tốc độ không đổi $v = 10$ m/s. Một trạm phát sóng đặt tại $I(-60; 27; 14)$ phủ một vùng hình cầu $(S)$ bán kính $R = 3$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 55.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin cáp treo chuyển động thẳng đều từ $A(50; -60; 40)$ đến $B(-130; -60; 280)$ với tốc độ không đổi $v = 12$ m/s. Một trạm phát sóng đặt tại $I(-29; -60; 137)$ phủ một vùng hình cầu $(S)$ bán kính $R = 13$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
22. Vận dụng cao. Một AUV/thiết bị lặn chuyển động thẳng đều, đường đi cắt một vùng hình cầu $(S)$Đúng / Saimoving_object_chord_time_in_sphere_tf(3 câu)
Câu 56.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một thiết bị lặn tự hành (AUV) chuyển động thẳng đều từ $A(20; -40; 0)$ theo hành trình tới $B(20; -130; 120)$ với tốc độ $v = 2$ m/s. Một vùng nước được khảo sát có dạng hình cầu $(S)$ tâm $I(16; -49; 12)$, bán kính $R = 5$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 57.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một thiết bị lặn tự hành (AUV) chuyển động thẳng đều từ $A(50; -30; 50)$ theo hành trình tới $B(50; 150; -190)$ với tốc độ $v = 2$ m/s. Một vùng nước được khảo sát có dạng hình cầu $(S)$ tâm $I(55; 105; -130)$, bán kính $R = 13$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 58.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một thiết bị lặn tự hành (AUV) chuyển động thẳng đều từ $A(50; 30; 20)$ theo hành trình tới $B(50; -60; 140)$ với tốc độ $v = 2$ m/s. Một vùng nước được khảo sát có dạng hình cầu $(S)$ tâm $I(54; -6; 68)$, bán kính $R = 5$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
23. Vận dụng cao. Cho ba đỉnh $A, B, C$ của hình bình hành $ABCD$ trong $Oxyz$Đúng / Saiparallelogram_coords_dotprod_line_tf(3 câu)
Câu 59.Trong không gian $Oxyz$, một tấm kính phẳng hình bình hành $ABCD$ có ba đỉnh $A(-1; 2; 0)$, $B(1; 4; -2)$, $C(2; 3; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 60.Trong không gian $Oxyz$, một tấm kính phẳng hình bình hành $ABCD$ có ba đỉnh $A(0; 0; -2)$, $B(-3; 2; -2)$, $C(-6; 3; -3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 61.Trong không gian $Oxyz$, một tấm kính phẳng hình bình hành $ABCD$ có ba đỉnh $A(0; -1; 1)$, $B(2; 3; 2)$, $C(1; 6; 5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
24. Vận dụng cao (4 ý cố định). Trực thăng cứu hộ bay thẳng đều qua điểm $P$ theo VTCP $\vec u$; vùng phủ sóng cứu nạn là mặt cầu $(S)$ tâm $T$, bán kính $R$Đúng / Sairescue_helicopter_canonical_sphere_signal_tf(1 câu)
Câu 62.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một trực thăng cứu hộ bay thẳng đều qua điểm $P(10; 10; 13)$ theo hướng vectơ $\vec u=(-3; -4; -4)$ với tốc độ không đổi $150$ km/h. Trung tâm cứu nạn đặt tại $T(1; -2; 1)$ phủ một vùng tín hiệu hình cầu $(S)$ bán kính $R=9$ km. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
25. Vận dụng cao (4 ý cố định, theo đáp án đề). Mái tròn trên ba cột tại $A, B, C$ (chân là tam giác đều cạnh $s$) cao $h_A, h_B, h_C$Đúng / Sairoof_columns_origin_midpoint_official_tf(1 câu)
Câu 63.Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ tại $A, B, C$ vuông góc với mặt sàn, cao lần lượt $10$ m, $9$ m, $8$ m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh $8$ m. Chọn hệ trục $Oxyz$ với $B\in Ox$, $C\in Oy$, $Oz$ cùng hướng $\overrightarrow{AA'}$; gốc $O$ trùng trung điểm của $AC$, mỗi đơn vị trên trục dài $1$ mét. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
26. Vận dụng cao. Cho tứ diện $ABCD$Đúng / Saitetrahedron_altitude_angle_sphere_tf(3 câu)
Câu 64.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-2; -2; -1)$, $B(0; 0; -4)$, $C(-5; -4; 3)$, $D(-3; -3; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 65.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(3; 0; 0)$, $B(7; 4; -2)$, $C(5; -2; 3)$, $D(0; -1; 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 66.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-1; 0; 3)$, $B(-4; -1; 7)$, $C(3; 3; 1)$, $D(-3; 2; 5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
27. Vận dụng cao — bẫy khái niệm. Hai quả cầu (bồn chứa) $(S_1),(S_2)$ tâm $I_1,I_2$ cách nhau $d=I_1I_2$, bán kính $R_1,R_2$ thoả $|R_1-R_2|<d<R_1+R_2$ nên CẮT nhau theo một ĐƯỜNG TRÒNĐúng / Saitwo_spheres_relative_position_facts_tf(3 câu)
Câu 67.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), hai quả cầu (bồn chứa) $(S_1)$ tâm $I_1(1; 3; 1)$ bán kính $R_1=13$ và $(S_2)$ tâm $I_2(13; -1; 7)$ bán kính $R_2=15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 68.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), hai quả cầu (bồn chứa) $(S_1)$ tâm $I_1(0; 0; 0)$ bán kính $R_1=10$ và $(S_2)$ tâm $I_2(-16; 0; 0)$ bán kính $R_2=10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 69.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), hai quả cầu (bồn chứa) $(S_1)$ tâm $I_1(3; -2; 2)$ bán kính $R_1=5$ và $(S_2)$ tâm $I_2(3; 6; 2)$ bán kính $R_2=5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
28. Chóp tứ giác $S.ABCD$ đáy vuông tâm $O$, $SO\perp$ đáy, đường tròn ngoại tiếp đáy bán kính $1$, $SO=\sqrt{k}$Trả lời ngắndist_midpoint_lateral_edge_to_opposite_face_mn_sa(3 câu)
Câu 70.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO\perp(ABCD)$, $SO=\sqrt{5}$ và đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ có bán kính bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ (trong đó $m,n$ là hai số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m-n$ bằng bao nhiêu?
Câu 71.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO\perp(ABCD)$, $SO=\sqrt{4}$ và đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ có bán kính bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ (trong đó $m,n$ là hai số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m-n$ bằng bao nhiêu?
Câu 72.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO\perp(ABCD)$, $SO=\sqrt{2}$ và đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ có bán kính bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ (trong đó $m,n$ là hai số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m-n$ bằng bao nhiêu?
29. Bài đánh chặn: pháo tốc độ gấp k lần mục tiêu, tìm thời điểm khai hỏaTrả lời ngắnintercept_fire_time_sa(3 câu)
Câu 73.Một mục tiêu bay thẳng đều với vận tốc $\vec v=(0;3;4)$ m/s, tại thời điểm $t=0$ ở vị trí $P(20;1;2)$ (đơn vị mét). Một khẩu pháo đặt tại $E(0;31;22)$ bắn đạn bay thẳng với tốc độ gấp $2$ lần tốc độ mục tiêu, trúng mục tiêu tại thời điểm $t=20$ s. Hỏi pháo phải khai hỏa tại thời điểm $t_0$ nào (giây)?
Câu 74.Một mục tiêu bay thẳng đều với vận tốc $\vec v=(2;1;2)$ m/s, tại thời điểm $t=0$ ở vị trí $P(0;24;5)$ (đơn vị mét). Một khẩu pháo đặt tại $E(0;0;5)$ bắn đạn bay thẳng với tốc độ gấp $2$ lần tốc độ mục tiêu, trúng mục tiêu tại thời điểm $t=18$ s. Hỏi pháo phải khai hỏa tại thời điểm $t_0$ nào (giây)?
Câu 75.Một mục tiêu bay thẳng đều với vận tốc $\vec v=(3;0;4)$ m/s, tại thời điểm $t=0$ ở vị trí $P(1;20;3)$ (đơn vị mét). Một khẩu pháo đặt tại $E(8;0;29)$ bắn đạn bay thẳng với tốc độ gấp $2$ lần tốc độ mục tiêu, trúng mục tiêu tại thời điểm $t=9$ s. Hỏi pháo phải khai hỏa tại thời điểm $t_0$ nào (giây)?
30. Biến thể: quỹ tích góc AXB=90° → khoảng cách NHỎ NHẤT OXTrả lời ngắnlocus_extremum_distance_sa(3 câu)
Câu 76.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho $A(1;6;1)$, $B(1;9;2)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông ($\widehat{AXB}=90^\circ$). Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 77.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho $A(3;1;1)$, $B(6;8;7)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông ($\widehat{AXB}=90^\circ$). Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 78.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho $A(1;1;2)$, $B(8;2;3)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông ($\widehat{AXB}=90^\circ$). Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
31. Hai vệ tinh $A,B$ cố định; thiết bị $X$ chạy trên mặt đất $(Oxy)$ sao cho hai đường $XA,XB$ tạo với mặt đất các GÓC PHỤ NHAUTrả lời ngắnmax_dist_radar_complementary_ground_angles_sa(3 câu)
Câu 79.Tại một sân bay, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt cố định để giám sát. Một thiết bị tự động $X$ di chuyển trên mặt đất, được điều khiển sao cho tín hiệu truyền thẳng tới cả hai vệ tinh, đồng thời hai đường thẳng phát tín hiệu từ $X$ đến $A$ và $B$ luôn tạo với mặt đất các góc PHỤ NHAU. Xét trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, radar đặt tại gốc $O$, hai vệ tinh $A(7;7;7)$ và $B(2;0;7)$. Khoảng cách lớn nhất mà radar có thể liên lạc đến thiết bị $X$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 80.Tại một sân bay, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt cố định để giám sát. Một thiết bị tự động $X$ di chuyển trên mặt đất, được điều khiển sao cho tín hiệu truyền thẳng tới cả hai vệ tinh, đồng thời hai đường thẳng phát tín hiệu từ $X$ đến $A$ và $B$ luôn tạo với mặt đất các góc PHỤ NHAU. Xét trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, radar đặt tại gốc $O$, hai vệ tinh $A(2;2;7)$ và $B(1;2;2)$. Khoảng cách lớn nhất mà radar có thể liên lạc đến thiết bị $X$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 81.Tại một sân bay, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt cố định để giám sát. Một thiết bị tự động $X$ di chuyển trên mặt đất, được điều khiển sao cho tín hiệu truyền thẳng tới cả hai vệ tinh, đồng thời hai đường thẳng phát tín hiệu từ $X$ đến $A$ và $B$ luôn tạo với mặt đất các góc PHỤ NHAU. Xét trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, radar đặt tại gốc $O$, hai vệ tinh $A(8;7;2)$ và $B(1;4;3)$. Khoảng cách lớn nhất mà radar có thể liên lạc đến thiết bị $X$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần mười)
32. Quỹ tích góc AXB=90° (đường tròn) → khoảng cách lớn nhất OXTrả lời ngắnmax_distance_complementary_angles_sa(3 câu)
Câu 82.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho hai điểm $A(2;2;3)$ và $B(7;4;1)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AXB}=90^\circ$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 83.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho hai điểm $A(7;7;1)$ và $B(4;8;2)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AXB}=90^\circ$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 84.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), cho hai điểm $A(7;5;3)$ và $B(5;1;1)$. Điểm $X$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AXB}=90^\circ$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc $O$ đến $X$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
33. Δ ∥ Oz qua (x0,y0,·); điểm C cố định → MC nhỏ nhất (M∈Δ)Trả lời ngắnmin_distance_line_parallel_axis_locus_sa(3 câu)
Câu 85.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), đường thẳng $\Delta$ song song với trục $Oz$ và đi qua điểm $(-4;2;0)$. Cho điểm $C(-11;26;9)$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $C$ đến một điểm $M$ chạy trên $\Delta$.
Câu 86.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), đường thẳng $\Delta$ song song với trục $Oz$ và đi qua điểm $(-2;5;0)$. Cho điểm $C(10;21;9)$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $C$ đến một điểm $M$ chạy trên $\Delta$.
Câu 87.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), đường thẳng $\Delta$ song song với trục $Oz$ và đi qua điểm $(-5;4;0)$. Cho điểm $C(15;-17;1)$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $C$ đến một điểm $M$ chạy trên $\Delta$.
34. Lập phương cạnh $a$; hai chất điểm đi đều theo đường chéo/cạnh với TỐC ĐỘ riêngTrả lời ngắnmin_distance_two_speed_points_cube_time_sa(3 câu)
Câu 88.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $30$ cm. Giả sử hai con bọ xuất phát cùng một lúc: con đỏ đi thẳng đều từ $A$ đến $D'$ với tốc độ $1$ cm/s; con xanh đi thẳng đều từ $D$ đến $B$ với tốc độ $2$ cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai con là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)
Câu 89.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $30$ cm. Giả sử hai chú kiến xuất phát cùng một lúc: con vàng đi thẳng đều từ $A$ đến $D'$ với tốc độ $1$ cm/s; con đen đi thẳng đều từ $D$ đến $B$ với tốc độ $2$ cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai con là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)
Câu 90.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $20$ cm. Giả sử hai con bọ xuất phát cùng một lúc: con đỏ đi thẳng đều từ $A$ đến $B'$ với tốc độ $1$ cm/s; con xanh đi thẳng đều từ $C$ đến $D$ với tốc độ $2$ cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai con là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)
35. Đổi kích thước hộp / vị trí vách → tính lại độ dài ống nhỏ nhấtTrả lời ngắnmin_pipe_length_box_dimensions_sa(3 câu)
Câu 91.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=20$, $AD=6$, $AA'=10$ (mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ADD'A')$, cách mặt này lần lượt $3$ m và $8$ m. Đường ống 3 đoạn nối $A$ và $C'$ có đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tính độ dài nhỏ nhất của ống.
Câu 92.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=8$, $AD=6$, $AA'=7$ (mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ADD'A')$, cách mặt này lần lượt $4$ m và $6$ m. Đường ống 3 đoạn nối $A$ và $C'$ có đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tính độ dài nhỏ nhất của ống.
Câu 93.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=6$, $AD=6$, $AA'=2$ (mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ADD'A')$, cách mặt này lần lượt $2$ m và $5$ m. Đường ống 3 đoạn nối $A$ và $C'$ có đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tính độ dài nhỏ nhất của ống.
36. Tối ưu diện tích tôn bồn hộp chữ nhật ĐÁY VUÔNG, KHÔNG nắp, thể tích cho trướcTrả lời ngắnmin_water_tank_surface_amgm_box_sa(3 câu)
Câu 94.Một bồn chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật KHÔNG nắp (hở phía trên), đáy là hình vuông cạnh $x$ (m) và có thể tích $V=4$ m³. Người ta dùng tôn để làm đáy và bốn mặt xung quanh của bồn. Tìm độ dài cạnh đáy $x$ để diện tích tôn dùng làm bồn là NHỎ NHẤT (m).
Câu 95.Một bồn chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật KHÔNG nắp (hở phía trên), đáy là hình vuông cạnh $x$ (m) và có thể tích $V=13,5$ m³. Người ta dùng tôn để làm đáy và bốn mặt xung quanh của bồn. Tìm độ dài cạnh đáy $x$ để diện tích tôn dùng làm bồn là NHỎ NHẤT (m).
Câu 96.Một bồn chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật KHÔNG nắp (hở phía trên), đáy là hình vuông cạnh $x$ (m) và có thể tích $V=62,5$ m³. Người ta dùng tôn để làm đáy và bốn mặt xung quanh của bồn. Tìm độ dài cạnh đáy $x$ để diện tích tôn dùng làm bồn là NHỎ NHẤT (m).
37. Cho thời gian → tìm một tọa độ của điểm đến B (đảo của bài trên)Trả lời ngắnmotion_reach_point_coord_sa(3 câu)
Câu 97.Một vật chuyển động thẳng đều tốc độ $48$ m/s từ $A(15;10;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(1;2;2)$ (đơn vị mét). Sau $5$ giây vật ở vị trí $B$. Tính cao độ của điểm $B$.
Câu 98.Một vật chuyển động thẳng đều tốc độ $45$ m/s từ $A(3;5;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(2;1;2)$ (đơn vị mét). Sau $10$ giây vật ở vị trí $B$. Tính cao độ của điểm $B$.
Câu 99.Một vật chuyển động thẳng đều tốc độ $121$ m/s từ $A(15;10;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(6;6;7)$ (đơn vị mét). Sau $9$ giây vật ở vị trí $B$. Tính hoành độ của điểm $B$.
38. Cabin chạy đều tốc độ $s$ theo VTCP $\vec u$ (CÙNG hướng), biết một tọa độ của đích $B$ → thời gian $A\to B$ (phút)Trả lời ngắnmotion_time_irrational_speed_unit_dir_sa(3 câu)
Câu 100.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), một vật chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi $20$ m/s, xuất phát từ điểm $A(20;18;0)$ và đi CÙNG hướng với vectơ chỉ phương $\vec u=(2;3;0)$. Trên hành trình, vật đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $9386$. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ vị trí $A$ thì vật đến vị trí $B$? (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 101.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), một vật chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi $20$ m/s, xuất phát từ điểm $A(11;19;0)$ và đi CÙNG hướng với vectơ chỉ phương $\vec u=(3;2;0)$. Trên hành trình, vật đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $5186$. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ vị trí $A$ thì vật đến vị trí $B$? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 102.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mét), một vật chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi $20$ m/s, xuất phát từ điểm $A(15;20;0)$ và đi CÙNG hướng với vectơ chỉ phương $\vec u=(3;1;0)$. Trên hành trình, vật đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $12033$. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ vị trí $A$ thì vật đến vị trí $B$? (Làm tròn đến hàng phần mười)
39. Cho tốc độ + VTCP + một tọa độ của đích → tìm thời gian A→B (phút)Trả lời ngắnmotion_time_to_reach_point_sa(3 câu)
Câu 103.Một cabin chạy thẳng đều với tốc độ $147$ m/s, xuất phát từ $A(15;10;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(6;2;3)$ (tọa độ đo bằng mét). Trên hành trình, cabin đến điểm $B$ có hoành độ bằng $3795$. Tính thời gian cabin đi từ $A$ đến $B$ (phút). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 104.Một cabin chạy thẳng đều với tốc độ $140$ m/s, xuất phát từ $A(17;9;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(6;3;2)$ (tọa độ đo bằng mét). Trên hành trình, cabin đến điểm $B$ có cao độ bằng $2120$. Tính thời gian cabin đi từ $A$ đến $B$ (phút). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 105.Một cabin chạy thẳng đều với tốc độ $242$ m/s, xuất phát từ $A(10;16;0)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(6;7;6)$ (tọa độ đo bằng mét). Trên hành trình, cabin đến điểm $B$ có hoành độ bằng $7270$. Tính thời gian cabin đi từ $A$ đến $B$ (phút). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
40. Cho thể tích V → tìm chiều cao SA (đảo)Trả lời ngắnpyramid_SA_from_volume_distance_sa(3 câu)
Câu 106.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=2$, $AD=4$ (mét), $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $24$ m³. Tính độ dài $SA$.
Câu 107.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=3$, $AD=5$ (mét), $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $55$ m³. Tính độ dài $SA$.
Câu 108.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=2$, $AD=4$ (mét), $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $8$ m³. Tính độ dài $SA$.
41. Ràng buộc góc 45° giữa cạnh bên và đáy → tham số trong công thức thể tíchTrả lời ngắnpyramid_volume_angle45_param_sa(3 câu)
Câu 109.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=2$, $AD=8$, $SA\perp(ABCD)$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 110.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=2$, $AD=4$, $SA\perp(ABCD)$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 111.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=6$, $AD=6$, $SA\perp(ABCD)$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng đơn vị)
42. Cho d(C,(SBD)) → tìm SA → tính thể tích VTrả lời ngắnpyramid_volume_from_distance_to_SBD_sa(3 câu)
Câu 112.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2$, $AD=4$, $SA\perp(ABCD)$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{2304}{784}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Câu 113.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2$, $AD=3$, $SA\perp(ABCD)$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{324}{153}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Câu 114.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2$, $AD=6$, $SA\perp(ABCD)$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{1296}{504}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
43. Đường đi ngắn nhất trên mặt hộp (2 đoạn / trải phẳng 2 mặt) từ A đến C'Trả lời ngắnshortest_path_box_surface_sa(3 câu)
Câu 115.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước $AB=3$, $AD=5$, $AA'=15$ (mét). Một con kiến bò trên bề mặt hộp đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh đối diện $C'$. Tìm độ dài quãng đường ngắn nhất con kiến phải bò.
Câu 116.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước $AB=4$, $AD=2$, $AA'=8$ (mét). Một con kiến bò trên bề mặt hộp đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh đối diện $C'$. Tìm độ dài quãng đường ngắn nhất con kiến phải bò.
Câu 117.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước $AB=5$, $AD=2$, $AA'=24$ (mét). Một con kiến bò trên bề mặt hộp đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh đối diện $C'$. Tìm độ dài quãng đường ngắn nhất con kiến phải bò.
44. Ống 3 đoạn $A\to C'$ (đoạn giữa $\perp$ hai vách // đáy) qua trải phẳng — độ dài nhỏ nhất, đơn vị dmTrả lời ngắnshortest_pipe_unfolding_box_dm_sa(3 câu)
Câu 118.Một thiết bị có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=8$ dm, $AD=8$ dm, $AA'=8$ dm. Bên trong có hai vách phẳng song song với mặt $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $3$ dm và $7$ dm. Người ta làm một đường ống gồm 3 đoạn thẳng nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống (dm).
Câu 119.Một thiết bị có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=3$ dm, $AD=4$ dm, $AA'=15$ dm. Bên trong có hai vách phẳng song song với mặt $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $9$ dm và $12$ dm. Người ta làm một đường ống gồm 3 đoạn thẳng nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống (dm).
Câu 120.Một thiết bị có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=12$ dm, $AD=9$ dm, $AA'=13$ dm. Bên trong có hai vách phẳng song song với mặt $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $4$ dm và $9$ dm. Người ta làm một đường ống gồm 3 đoạn thẳng nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách. Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống (dm).
45. Ống 3 đoạn A→C' (đoạn giữa ⊥ 2 vách) qua trải phẳng — độ dài nhỏ nhấtTrả lời ngắnshortest_pipe_unfolding_box_sa(3 câu)
Câu 121.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=6$, $AD=6$, $AA'=10$ (đơn vị mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $5$ m và $8$ m. Một đường ống gồm 3 đoạn nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách (nằm giữa hai vách). Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống.
Câu 122.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=4$, $AD=12$, $AA'=6$ (đơn vị mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $1$ m và $4$ m. Một đường ống gồm 3 đoạn nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách (nằm giữa hai vách). Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống.
Câu 123.Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=6$, $AD=10$, $AA'=20$ (đơn vị mét). Hai vách phẳng song song mặt phẳng $(ABCD)$, cách $(ABCD)$ lần lượt $6$ m và $11$ m. Một đường ống gồm 3 đoạn nối $A$ tới $C'$, trong đó đoạn giữa vuông góc với hai vách (nằm giữa hai vách). Tìm độ dài nhỏ nhất của đường ống.