Khoảng cách và góc

Công thức

§1. Công thức(6)

1.1

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cho $(P_1), (P_2)$ có pháp tuyến $\vec{n_1}, \vec{n_2}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}.$$

1.2

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ chỉ phương $\vec{u}$, mặt phẳng $(P)$ pháp tuyến $\vec{n}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.$$

1.3

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường $d_1, d_2$ chỉ phương $\vec{u_1}, \vec{u_2}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}.$$

1.4

Khoảng cách điểm — đường thẳng

Cho điểm $M_0$ và đường thẳng $d$ qua $M_1$ có chỉ phương $\vec{u}$: $$d(M_0, d) = \dfrac{|[\vec{M_1 M_0}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}.$$

1.5

Khoảng cách điểm — mặt phẳng

$d(M_0, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ với $M_0(x_0;y_0;z_0)$, $(P): Ax + By + Cz + D = 0$.

1.6

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho $d_1$ qua $M_1$ chỉ phương $\vec{u_1}$, $d_2$ qua $M_2$ chỉ phương $\vec{u_2}$ (chéo nhau): $$d(d_1, d_2) = \dfrac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}.$$

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: vì sao dùng giá trị tuyệt đối

Góc giữa 2 đường thẳng / 2 mặt phẳng / đường + mặt luôn ở $[0; 90°]$ (góc nhọn hoặc vuông), nên công thức luôn dùng giá trị tuyệt đối ở tử số:

Đảm bảo $\cos\alpha \geq 0$ (hoặc $\sin\alpha \geq 0$).
Tránh thu được góc tù từ tích vô hướng âm.

Bài tập

1. Số đo góc giữa hai đường thẳng d1, d2 cho bởi VTCP (góc đặc biệt)Trắc nghiệm`angle_between_two_lines_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + s \\ z = -1 + s \end{cases}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$120^\circ$

B.$30^\circ$

C.$60^\circ$

D.$45^\circ$

Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 \\ z = 1 + t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = -2 \\ z = 1 + s \end{cases}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$45^\circ$

B.$30^\circ$

C.$60^\circ$

D.$135^\circ$

Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 2t \\ y = 2 + t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = s \\ y = 2 - 2s \\ z = 0 \end{cases}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$60^\circ$

B.$30^\circ$

C.$90^\circ$

D.$45^\circ$

2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳngTrắc nghiệm`angle_between_two_planes`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$ và $\vec{n_2} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos\theta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

B.$\cos\theta = - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C.$\cos\theta = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D.$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Câu 5.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 0; 0)$ và $\vec{n_2} = (0; 1; 0)$.

A.$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$

B.$\cos\theta = 0$

C.$\cos\theta = \dfrac{1}{3}$

D.$\cos\theta = 1$

Câu 6.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 0; 0)$ và $\vec{n_2} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos\theta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

B.$\cos\theta = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\cos\theta = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$ và $\vec{n_2} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos\theta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

B.$\cos\theta = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C.$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D.$\cos\theta = - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Câu 8.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 0; 0)$ và $\vec{n_2} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos\theta = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

B.$\cos\theta = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\cos\theta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 9.Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1; 1; 0)$ và $\vec{n_2} = (1; -1; 0)$.

A.$\cos\theta = 0$

B.$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$

C.$\cos\theta = \dfrac{1}{3}$

D.$\cos\theta = 1$

3. Cosin góc giữa hai đường thẳng d1, d2 cho bởi VTCPTrắc nghiệm`cos_angle_between_two_lines_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -2 + t \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z}{1}$. Côsin của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$\cos\varphi = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$

C.$\cos\varphi = \dfrac{3}{2}$

D.$\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 1}{-2}$. Côsin của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$\cos\varphi = 0$

B.$\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\cos\varphi = 1$

D.$\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 2}{1}$. Côsin của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

A.$\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$

B.$\cos\varphi = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\cos\varphi = \dfrac{3}{2}$

D.$\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

4. Góc nhị diện $[(P), \ell, (Q)]$ — tính qua 2 vectơ pháp tuyến (sao cho $\cos$ dương)Trắc nghiệm`dihedral_angle_in_oxyz`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (0;0;1)$ và $\vec{n_Q} = (0;1;1)$. Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.

A.$30^\circ$

B.$90^\circ$

C.$60^\circ$

D.$45^\circ$

Câu 14.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1;0;0)$ và $\vec{n_Q} = (1;\sqrt{3};0)$. Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.

A.$90^\circ$

B.$45^\circ$

C.$30^\circ$

D.$60^\circ$

Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1;0;0)$ và $\vec{n_Q} = (0;1;0)$. Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.

A.$60^\circ$

B.$30^\circ$

C.$90^\circ$

D.$45^\circ$

5. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng có vectơ chỉ phương đơn vịTrắc nghiệm`distance_point_to_line_3d`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 6; 3)$ đến đường thẳng $\Delta$ qua $O$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; 0)$.

A.$d = 3 \sqrt{5}$

B.$d = 9$

C.$d = 7$

D.$d = 6$

Câu 17.Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 2; 6)$ đến đường thẳng $\Delta$ qua $O$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; 0)$.

A.$d = 2 \sqrt{11}$

B.$d = 2$

C.$d = 2 \sqrt{10}$

D.$d = 8$

Câu 18.Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 3; 6)$ đến đường thẳng $\Delta$ qua $O$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; 0)$.

A.$d = 3 \sqrt{5}$

B.$d = 7$

C.$d = 3$

D.$d = 9$

6. VD cao: khoảng cách điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(P)$ trong $Oxyz.$Trắc nghiệm`distance_point_to_plane_Oxyz_advanced`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 3x - 4y + 12z - 13 = 0$ và điểm $M(0;0;0).$ Tính khoảng cách từ $M$ đến $(P).$

A.$d = 2$

B.$d = 13$

C.$d = 1$

D.$d = \dfrac{1}{13}$

Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 6 = 0$ và điểm $M(0;0;0).$ Tính khoảng cách từ $M$ đến $(P).$

A.$d = 6$

B.$d = 2$

C.$d = 3$

D.$d = \dfrac{2}{3}$

Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z + 3 = 0$ và điểm $M(1;0;0).$ Tính khoảng cách từ $M$ đến $(P).$

A.$d = 5$

B.$d = \dfrac{5}{9}$

C.$d = \dfrac{8}{3}$

D.$d = \dfrac{5}{3}$

7. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song songTrắc nghiệm`distance_two_planes_parallel`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $x + 2y + 2z - 1 = 0$ và $x + 2y + 2z + 6 = 0$.

A.$d = 7$

B.$d = \dfrac{5}{3}$

C.$d = \dfrac{7}{3}$

D.$d = \dfrac{7}{9}$

Câu 23.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $3x + 4y + 2 = 0$ và $3x + 4y + 11 = 0$.

A.$d = \dfrac{9}{25}$

B.$d = \dfrac{13}{5}$

C.$d = 9$

D.$d = \dfrac{9}{5}$

Câu 24.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $2x - 2y + z + 5 = 0$ và $2x - 2y + z + 13 = 0$.

A.$d = \dfrac{8}{3}$

B.$d = \dfrac{8}{9}$

C.$d = 6$

D.$d = 8$

8. Khẳng định đúng về góc / quan hệ vuông góc giữa d1, d2Trắc nghiệm`perpendicular_lines_check_angle_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -2 + t \\ z = -2 + t \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z + 1}{-2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $60^\circ$.

B.$d_1 \parallel d_2$.

C.$d_1 \perp d_2$.

D.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $45^\circ$.

Câu 26.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -1 + t \\ y = -2 + t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 2}{1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $30^\circ$.

B.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $60^\circ$.

C.$d_1 \perp d_2$.

D.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $45^\circ$.

Câu 27.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z}{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $60^\circ$.

B.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $30^\circ$.

C.Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $45^\circ$.

D.$d_1 \perp d_2$.

9. Bẫy đọc hiểu: so sánh và chọn khoảng cách LỚN NHẤT giữa 3 cấu hìnhTrắc nghiệm`which_distance_largest_compare_mc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(5; 3; 5)$, mặt phẳng $(P): 3x + 4y - 1 = 0$, đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -3 \\ y = -3 + t \\ z = -1 \end{cases}$ và điểm $N(6; 5; 6)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.$d(M,\Delta) = d(M,N)$

B.$d(M,(P)) \text{ là khoảng cách nhỏ nhất}$

C.$d(M,N) > d(M,(P)) > d(M,\Delta)$

D.$d(M,\Delta) > d(M,(P)) > d(M,N)$

Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3; 3; 5)$, mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 5 = 0$, đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 1 \\ y = -3 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và điểm $N(6; 5; 5)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.$d(M,\Delta) = d(M,N)$

B.$d(M,(P)) \text{ là khoảng cách nhỏ nhất}$

C.$d(M,\Delta) > d(M,N) > d(M,(P))$

D.$d(M,(P)) > d(M,N) > d(M,\Delta)$

Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1; 4; 5)$, mặt phẳng $(P): 3x + 4y - 2 = 0$, đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -2 \\ z = -2 + t \end{cases}$ và điểm $N(4; 1; 4)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.$d(M,(P)) \text{ là khoảng cách lớn nhất}$

B.$d(M,(P)) > d(M,N) > d(M,\Delta)$

C.$d(M,\Delta) = d(M,N)$

D.$d(M,\Delta) > d(M,N) > d(M,(P))$

10. Cho 2 đường thẳng có VTCP cụ thể — xét đúng/sai về góc giữa hai đường, quan hệ vuông gócĐúng / Sai`distance_angle_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; 1; 1)$ và $\vec{u_2} = (1; 1; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$d_1 \perp d_2$.

b)$|\vec{u_1}|^2 = 3$.

c)Cosin góc giữa hai đường thẳng luôn không âm.

d)Hai đường thẳng song song có $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương.

Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; 1; 0)$ và $\vec{u_2} = (1; -1; 0)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cosin góc giữa hai đường thẳng luôn không âm.

b)$\cos(\widehat{d_1, d_2}) = \dfrac{0}{\sqrt{4}}$.

c)Hai đường thẳng song song có $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương.

d)Góc giữa hai đường thẳng có thể tù.

Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; 1; 1)$ và $\vec{u_2} = (1; 1; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$d_1 \perp d_2$.

b)$|\vec{u_1}|^2 = 3$.

c)$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 3$.

d)Góc giữa hai đường thẳng có thể tù.

11. Cho điểm $M$ và mặt phẳng $(P)$ cụ thể — xét đúng/sai về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, vị trí điểm so với mặt phẳngĐúng / Sai`distance_angle_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4; 4; 3)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$M$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

b)Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1; 1; 1)$.

c)$|\vec{n}| = \sqrt{3}$.

d)Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $\dfrac{10}{\sqrt{3}}$.

Câu 35.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4; 3; 4)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z + 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng luôn không âm.

b)$M$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

c)Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $0$ ⇔ $M \in (P)$.

d)Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $\dfrac{23}{\sqrt{9}}$.

Câu 36.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; 2; 2)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z + 8 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng $\dfrac{18}{3}$.

b)Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (2; 2; 1)$.

c)Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng luôn không âm.

d)$M$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

12. Đảo ngược & quỹ tích trong $Oxyz$: tập điểm cách đều một mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, vị trí tương đối mặt cầu–mặt phẳng, khoảng cách theo tham sốĐúng / Sai`distance_angle_inverse_and_locus_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 4 = 0$ với vectơ pháp tuyến $\vec n=(1; 2; 2)$, điểm $M(2; -1; -2)$, mặt cầu tâm $I(-3; -1; 1)$ bán kính $R=3$ và số $r=3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến thì khoảng cách giữa chúng bằng $|d_1-d_2|$.

b)Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt này tới mặt kia.

c)Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ cắt $(P)$ khi $d(I,(P))>R$.

d)Tập hợp các điểm cách $(P)$ một khoảng bằng $3$ gồm HAI mặt phẳng song song với $(P)$.

Câu 38.Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P): 3x + 4y - 2 = 0$ với vectơ pháp tuyến $\vec n=(3; 4; 0)$, điểm $M(-3; 0; 2)$, mặt cầu tâm $I(0; 4; -4)$ bán kính $R=1$ và số $r=1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có vô số mặt phẳng song song $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng $1$ cho trước.

b)Tập hợp các điểm cách $(P)$ một khoảng bằng $1$ gồm HAI mặt phẳng song song với $(P)$.

c)Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ cắt $(P)$ khi $d(I,(P))>R$.

d)Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ tiếp xúc $(P)$ khi và chỉ khi $d(I,(P))=R$.

Câu 39.Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z + 3 = 0$ với vectơ pháp tuyến $\vec n=(2; 2; 1)$, điểm $M(0; -1; 1)$, mặt cầu tâm $I(4; -2; 2)$ bán kính $R=1$ và số $r=2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu điểm $N$ chạy trên một đường thẳng song song với $(P)$ thì khoảng cách từ $N$ tới $(P)$ không đổi.

b)Có vô số mặt phẳng song song $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng $2$ cho trước.

c)Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến thì khoảng cách giữa chúng bằng $|d_1-d_2|$.

d)Tập hợp các điểm cách $(P)$ một khoảng bằng $2$ gồm HAI mặt phẳng song song với $(P)$.

13. Vận dụng cao. Máy bay cất cánh thẳng từ gốc $O$ với tốc độ $s$ (km/h); sau $\tau$ phút tới $M$, nên $OM = s\cdot\tau/60$ (km)Trả lời ngắn`airplane_point_from_two_angles_speed_time_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình bên (đơn vị trên các trục tọa độ là km), cho biết máy bay cất cánh theo đường thẳng với tốc độ trung bình là $480$ km/h, bắt đầu tại điểm $O$, sau $2$ phút ở tại vị trí điểm $M$, biết $\widehat{NOB}=32^\circ$, $\widehat{MOC}=62^\circ$. Tọa độ của điểm $M$ là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $a + b - c$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Điểm M trong hệ Oxyz với hình chiếu N xuống mặt (Oxy).

Câu 41.Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình bên (đơn vị trên các trục tọa độ là km), cho biết máy bay cất cánh theo đường thẳng với tốc độ trung bình là $360$ km/h, bắt đầu tại điểm $O$, sau $3$ phút ở tại vị trí điểm $M$, biết $\widehat{NOB}=28^\circ$, $\widehat{MOC}=62^\circ$. Tọa độ của điểm $M$ là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $a - b + c$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Điểm M trong hệ Oxyz với hình chiếu N xuống mặt (Oxy).

Câu 42.Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình bên (đơn vị trên các trục tọa độ là km), cho biết máy bay cất cánh theo đường thẳng với tốc độ trung bình là $360$ km/h, bắt đầu tại điểm $O$, sau $3$ phút ở tại vị trí điểm $M$, biết $\widehat{NOB}=28^\circ$, $\widehat{MOC}=68^\circ$. Tọa độ của điểm $M$ là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $a + b - c$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Điểm M trong hệ Oxyz với hình chiếu N xuống mặt (Oxy).

14. Cosin góc giữa hai mặt phẳng đặc biệt — đáp số 0 hoặc 1Trả lời ngắn`angle_between_perpendicular_planes`(2 câu)

Mẫu 1Nhận biết(2 câu)

Câu 43.Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau. Cosin góc giữa chúng?

Câu 44.Hai mặt phẳng song song. Cosin góc giữa chúng?

15. Vận dụng cao. Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ đáy chữ nhật với $AB = m\cdot AD$ và $AA' = k\cdot AD$Trả lời ngắn`box_dihedral_angle_diagonal_opposite_side_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 45.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 3AD = 3a$ và $AA' = a$ (đặt $AD = a$). Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[A', BD, C]$. Tính $\alpha$ theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.