Công thức
§1. Định nghĩa(1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
§2. Tính chất(1)
Vị trí tương đối 2 đường thẳng trong không gian
- $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $\vec{M_1 M_2} \not\parallel \vec{u_1}$: song song.
- $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \in d_2$: trùng nhau.
- $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0$: cắt nhau.
- $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} \neq 0$: chéo nhau.
§3. Công thức(2)
Phương trình chính tắc đường thẳng
Phương trình tham số đường thẳng
§4. Phương pháp(1)
Phương trình đường thẳng qua 2 điểm
§5. Mẹo(1)
Đường thẳng đặc biệt
- Trục Ox: $\{y = 0, z = 0\}$ — chỉ phương $\vec{i} = (1;0;0)$.
- Trục Oy: $\{x = 0, z = 0\}$ — chỉ phương $\vec{j} = (0;1;0)$.
- Trục Oz: $\{x = 0, y = 0\}$ — chỉ phương $\vec{k} = (0;0;1)$.
- Đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau $d_1, d_2$: chỉ phương $\vec{u} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}]$.
Bài tập
1. Cho đường thẳng $d$ dạng chính tắc → chọn một vectơ chỉ phương của $d$Trắc nghiệmchoose_direction_vector_from_canonical_mcq(6 câu)
Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x + 5}{-4} = \dfrac{y + 3}{-2} = \dfrac{z - 2}{-1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{3} = \dfrac{y - 5}{3} = \dfrac{z - 5}{4}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{-3} = \dfrac{y - 2}{-3} = \dfrac{z - 2}{1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 3}{-2} = \dfrac{y - 4}{3} = \dfrac{z + 2}{2}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x + 5}{-1} = \dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{z - 2}{-3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
Câu 6.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 5}{-2} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 5}{-2}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
2. Hỏi ngược: cho VTCP, chọn PT đường thẳng (chính tắc) có VTCP đóTrắc nghiệmchoose_line_with_given_direction_mcq(6 câu)
Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(3; -3; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (1; -4; 5)$ có phương trình chính tắc là?
Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(4; -5; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (3; -5; -3)$ có phương trình chính tắc là?
Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-1; 4; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (-1; -3; -5)$ có phương trình chính tắc là?
Câu 10.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1; -4; -4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (2; 5; -2)$ có phương trình chính tắc là?
Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-1; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (-3; -3; -3)$ có phương trình chính tắc là?
Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-4; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (-3; -4; 4)$ có phương trình chính tắc là?
3. Hỏi VTCP của đường thẳng vuông góc $(P)$ ( $= $ VTPT của $(P)$ )Trắc nghiệmdirection_vector_line_perp_plane_mcq(3 câu)
Câu 13.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P): -3x - 2y + 2z = 0$ là?
Câu 14.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P): 4x - 2y + z + 6 = 0$ là?
Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P): -4x + 3y + 4z + 6 = 0$ là?
4. Cho hai điểm $A, B$, tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ của đường thẳng $AB$Trắc nghiệmdirection_vector_through_two_points(3 câu)
Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; 4; -1)$ và $B(-1; 4; 6)$ nhận vectơ chỉ phương nào sau đây?
Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(4; 5; 5)$ và $B(4; 4; 5)$ nhận vectơ chỉ phương nào sau đây?
Câu 18.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(3; 2; -1)$ và $B(5; -1; 4)$ nhận vectơ chỉ phương nào sau đây?
5. Cho hai điểm $A, B$ → viết PT CHÍNH TẮC của đường thẳng $AB$Trắc nghiệmline_canonical_through_two_points_mcq(6 câu)
Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(4; 0; 4)$ và $B(-4; -3; 2)$ là?
Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-5; -2; 1)$ và $B(5; -1; 0)$ là?
Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(0; -2; -4)$ và $B(1; 5; 1)$ là?
Câu 22.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 2; -2)$ và $B(5; 3; -3)$ là?
Câu 23.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-2; -2; -1)$ và $B(5; -4; -2)$ là?
Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-2; -4; 5)$ và $B(1; 1; -1)$ là?
6. Tìm vector chỉ phương giao tuyến của hai mặt phẳng — bằng tích có hướng 2 pháp tuyếnTrắc nghiệmline_intersection_two_planes(3 câu)
Câu 25.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 3y + 2z = 0$ và $(Q): -x + y = 0$. Tìm một vectơ chỉ phương của giao tuyến $(P) \cap (Q)$.
Câu 26.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x - 2y = 0$ và $(Q): 2y - z = 0$. Tìm một vectơ chỉ phương của giao tuyến $(P) \cap (Q)$.
Câu 27.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): -2x + y + z = 0$ và $(Q): -3x - y + 3z = 0$. Tìm một vectơ chỉ phương của giao tuyến $(P) \cap (Q)$.
7. Viết PT tham số đường thẳng qua $M$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}$Trắc nghiệmline_parametric_through_point_direction(3 câu)
Câu 28.Viết PT tham số đường thẳng qua điểm $M(5; 3; 2)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 4; -1)$.
Câu 29.Viết PT tham số đường thẳng qua điểm $M(5; 4; 5)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-5; 4; -1)$.
Câu 30.Viết PT tham số đường thẳng qua điểm $M(4; 3; 6)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (4; -4; 2)$.
8. Vận dụng cao. Viết PT đường thẳng qua điểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng cho trướcTrắc nghiệmline_through_point_intersecting_two_lines(3 câu)
Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4; 3; -1)$ và hai đường thẳng $(d_1): \begin{cases} x = 13 - 3t \\ y = 6 - 3t \\ z = 6 - 3t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 12 + 2t \\ y = -4 - t \\ z = 0 - t \end{cases}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt cả $d_1$ và $d_2$.
Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; -1; 3)$ và hai đường thẳng $(d_1): \begin{cases} x = 6 - 2t \\ y = -2 - 2t \\ z = 4 + 2t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 0 - 3t \\ y = -9 - t \\ z = 7 - t \end{cases}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt cả $d_1$ và $d_2$.
Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; 3; 2)$ và hai đường thẳng $(d_1): \begin{cases} x = 7 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 7 + 3t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 8 + 2t \\ y = 4 + 3t \\ z = 9 + 3t \end{cases}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt cả $d_1$ và $d_2$.
9. Viết PT chính tắc đường thẳng qua $M$ vuông góc $(P)$ (VTCP = VTPT)Trắc nghiệmline_through_point_perp_plane_mcq(3 câu)
Câu 34.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(2; -4; -4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): x - y - 3z + 5 = 0$ có phương trình chính tắc là?
Câu 35.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-3; -3; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x + 3y - 4z + 5 = 0$ có phương trình chính tắc là?
Câu 36.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-2; 2; 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 4x + 2y - z + 6 = 0$ có phương trình chính tắc là?
10. Viết PT THAM SỐ đường thẳng qua $M$ vuông góc $(P)$ (VTCP = VTPT)Trắc nghiệmline_through_point_perp_plane_parametric_mcq(3 câu)
Câu 37.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(3; 2; -1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): -2x - 4y - 2z - 1 = 0$ có phương trình tham số là?
Câu 38.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(2; -1; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): x - y + 4z - 4 = 0$ có phương trình tham số là?
Câu 39.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(-4; 1; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x + 4y + 3z + 1 = 0$ có phương trình tham số là?
11. Hình chiếu vuông góc của $M(a;b;c)$ lên mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmprojection_point_on_plane_axis(3 câu)
Câu 40.Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M(5; 5; -1)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$.
Câu 41.Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M(4; 1; 4)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$.
Câu 42.Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; 2; -3)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$.
12. Cho $d$ dạng chính tắc (có thể có hệ số trong tử) → chọn VTCP đúngTrắc nghiệmread_direction_vector_canonical_mcq(6 câu)
Câu 43.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x - 5}{4} = \dfrac{y + 1}{-4} = \dfrac{z + 1}{-3}$ là?
Câu 44.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{y - 3}{-2} = \dfrac{z + 5}{-5}$ là?
Câu 45.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x - 4}{2} = \dfrac{2y - 4}{-2} = \dfrac{z}{-4}$ là?
Câu 46.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x - 3}{-5} = \dfrac{y + 1}{-1} = \dfrac{z + 5}{-5}$ là?
Câu 47.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{1 - y}{-2} = \dfrac{z + 4}{-4}$ là?
Câu 48.Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d): \dfrac{x}{-5} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 2}{4}$ là?
13. Cho $d$ dạng tham số (kể cả 1 thành phần hằng) → đọc VTCP $(a; b; c)$Trắc nghiệmread_direction_vector_parametric_mcq(6 câu)
Câu 49.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = -1 - 4t \\ y = 4 - t \\ z = 2 - 5t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
Câu 50.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = 1 - 5t \\ y = 1 - 4t \\ z = -1 \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
Câu 51.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = -5 - 4t \\ y = 1 - 5t \\ z = -2 - 4t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
Câu 52.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = 3 - 3t \\ y = 2 + 5t \\ z = 5 + 5t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
Câu 53.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = -5 + 5t \\ z = -5 + 5t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
Câu 54.Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d): \begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -3 - 5t \\ z = 1 - 5t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là?
14. Đọc hình / đa biểu diễn. Quan sát hình $Oxyz$ và đối chiếu PT để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng — hoặc đọc $M_0$/VTCP của một đườngTrắc nghiệmread_two_lines_position_from_figure_mcq(6 câu)
Câu 55.Trong không gian $Oxyz$, hình vẽ biểu diễn đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0$ (chấm đậm) với vectơ chỉ phương $\vec u$ (mũi tên đỏ). Toạ độ điểm $M_0$ là?
Câu 56.Trong không gian $Oxyz$, quan sát hình vẽ hai đường thẳng $d_1$ (màu xanh dương) và $d_2$ (màu xanh lá), có phương trình tham số $(d_1): \begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 0 + 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$?
Câu 57.Trong không gian $Oxyz$, quan sát hình vẽ hai đường thẳng $d_1$ (màu xanh dương) và $d_2$ (màu xanh lá), có phương trình tham số $(d_1): \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 0 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$?
Câu 58.Trong không gian $Oxyz$, quan sát hình vẽ hai đường thẳng $d_1$ (màu xanh dương) và $d_2$ (màu xanh lá), có phương trình tham số $(d_1): \begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 - t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 2 \\ y = 4 - 2t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$?
Câu 59.Trong không gian $Oxyz$, quan sát hình vẽ hai đường thẳng $d_1$ (màu xanh dương) và $d_2$ (màu xanh lá), có phương trình tham số $(d_1): \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 3 - t \\ z = 0 + t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$?
Câu 60.Trong không gian $Oxyz$, quan sát hình vẽ hai đường thẳng $d_1$ (màu xanh dương) và $d_2$ (màu xanh lá), có phương trình tham số $(d_1): \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$, $(d_2): \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 0 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$?
15. Phân loại vị trí tương đối hai đường thẳng trong không gianTrắc nghiệmrelative_position_two_lines_mcq(6 câu)
Câu 61.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z - 4}{-1}$ và $(d_2):\ \dfrac{x - 4}{-2} = \dfrac{y - 6}{2} = \dfrac{z - 7}{2}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
Câu 62.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 3}{2} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z - 2}{-1}$ và $(d_2):\ \dfrac{x - 6}{4} = \dfrac{y - 5}{-2} = \dfrac{z - 3}{-2}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
Câu 63.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 5}{2} = \dfrac{y - 2}{-2} = \dfrac{z - 4}{3}$ và $(d_2):\ \dfrac{x - 6}{1} = \dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{z - 5}{2}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
Câu 64.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 4}{3} = \dfrac{z - 3}{-3}$ và $(d_2):\ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 12}{-2} = \dfrac{z + 4}{1}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
Câu 65.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y - 4}{1} = \dfrac{z + 1}{2}$ và $(d_2):\ \dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y - 6}{1} = \dfrac{z}{1}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
Câu 66.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1):\ \dfrac{x - 5}{1} = \dfrac{y - 5}{-3} = \dfrac{z + 1}{-1}$ và $(d_2):\ \dfrac{x + 4}{2} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - 2}{2}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.
16. Điểm đối xứng của $M$ qua mặt phẳng toạ độ — đổi dấu toạ độ vuông gócTrắc nghiệmsymmetric_point_through_axis_plane(3 câu)
Câu 67.Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M(2; -4; 4)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.
Câu 68.Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M(5; -1; 4)$ qua mặt phẳng $(Oxz)$.
Câu 69.Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M(-4; -5; 5)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.
17. Cho $d_1$ (VTCP $\vec{u_1}$), $d_2$ (VTCP $\vec{u_2}$) và mặt phẳng $(P)$ (VTPT $\vec n$)Đúng / Saiangle_line_plane_or_two_lines_facts_tf(6 câu)
Câu 70.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 1; 0)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1; 0; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 71.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 1; 0)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0; 0; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 72.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 1; 0)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(2; 1; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0; 0; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 73.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 0; 1)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1; 1; 0)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0; 1; 0)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 74.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 0; 1)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1; 1; 0)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0; 1; 0)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 75.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1; 1; 0)$, đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1; 0; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0; 0; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
18. Cho đường thẳng $d$ dạng CHÍNH TẮC qua $M_0$ với VTCP $\vec u$ (KHÔNG cần $|\vec u|$ nguyên) và điểm $A$Đúng / Sailine_canonical_perp_plane_intersect_sphere_tf(3 câu)
Câu 76.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y - 4}{2} = \dfrac{z - 3}{-1}$ và điểm $A(4; 1; 3)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 77.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 3}{-2} = \dfrac{y - 4}{3} = \dfrac{z - 2}{2}$ và điểm $A(6; 6; 2)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 78.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z + 1}{2}$ và điểm $A(1; 0; -1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
19. Cho đường thẳng $d$ dạng chính tắc cụ thể — xét đúng/sai về VTCP, điểm thuộc, dạng tham sốĐúng / Sailine_eq_facts(3 câu)
Câu 79.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 4}{-1} = \dfrac{y + 1}{-2} = \dfrac{z - 3}{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 80.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 3}{-1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 3}{1}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 81.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 3}{-2} = \dfrac{z - 2}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
20. Cho đường thẳng $d$ qua $M_0$ với VTCP $\vec u$ và điểm $A$Đúng / Sailine_point_plane_sphere_facts_tf(3 câu)
Câu 82.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua $M_0(3; 3; 5)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(3; -4; 0)$ và điểm $A(6; -1; 7)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 83.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua $M_0(2; 4; 3)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(0; 3; 4)$ và điểm $A(2; -1; 13)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 84.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua $M_0(3; 3; 2)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(3; -4; 0)$ và điểm $A(13; -2; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
21. Cho điểm $M_0$ và VTCP $\vec{u}$ cụ thể — xét đúng/sai phương trình tham số / chính tắc của đường thẳng đi qua $M_0$Đúng / Sailine3d_facts2(3 câu)
Câu 85.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(2; 2; 2)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-2; -1; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 86.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(3; -1; 3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; -1; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 87.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(3; 4; 2)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
22. Hai phương tiện bay chuyển động đều dọc HAI đường thẳng song song trục: vật 1 từ $B$ đi theo $\pm Oz$ tốc độ $v_1$; vật 2 từ $F$ đi theo $\pm Oy$ tốc độ $v_2$Đúng / Saitwo_aircraft_axis_min_distance_tf(3 câu)
Câu 88.Xét trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, đơn vị đo chiều dài là mét). Một phương tiện bay thứ nhất xuất phát tại điểm $B(150; 600; 0)$, bay lên theo phương thẳng đứng (cùng hướng trục $Oz$) với vận tốc $4$ m/s. Cùng lúc đó một phương tiện bay thứ hai đang ở điểm $F(0; -1300; 800)$ bay với vận tốc $40$ m/s dọc theo đường thẳng song song với trục $Oy$, theo chiều dương của trục $Oy$. Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai phương tiện phải luôn là $500$ m. Gọi $t$ (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 89.Xét trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, đơn vị đo chiều dài là mét). Một phương tiện bay thứ nhất xuất phát tại điểm $B(350; 650; 0)$, bay lên theo phương thẳng đứng (cùng hướng trục $Oz$) với vận tốc $5$ m/s. Cùng lúc đó một phương tiện bay thứ hai đang ở điểm $F(0; -1300; 550)$ bay với vận tốc $40$ m/s dọc theo đường thẳng song song với trục $Oy$, theo chiều dương của trục $Oy$. Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai phương tiện phải luôn là $500$ m. Gọi $t$ (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 90.Xét trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, đơn vị đo chiều dài là mét). Một phương tiện bay thứ nhất xuất phát tại điểm $B(200; 400; 0)$, bay lên theo phương thẳng đứng (cùng hướng trục $Oz$) với vận tốc $5$ m/s. Cùng lúc đó một phương tiện bay thứ hai đang ở điểm $F(0; -1000; 500)$ bay với vận tốc $30$ m/s dọc theo đường thẳng song song với trục $Oy$, theo chiều dương của trục $Oy$. Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai phương tiện phải luôn là $500$ m. Gọi $t$ (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
23. Cabin/vật chuyển động đều từ $A$ theo VTCP $\vec u$, tốc độ $s$ m/s, sau $t$ giây tới $T$Đúng / Saiuniform_motion_line_facts_tf(3 câu)
Câu 91.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin chuyển động đều xuất phát từ $A(-1; 4; 4)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(3; 0; 4)$ với tốc độ $1$ m/s; sau $10$ giây tới điểm $T$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 92.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin chuyển động đều xuất phát từ $A(2; 5; 2)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(0; -3; 4)$ với tốc độ $5$ m/s; sau $3$ giây tới điểm $T$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 93.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), một cabin chuyển động đều xuất phát từ $A(3; 4; 3)$ theo vectơ chỉ phương $\vec u=(3; -4; 0)$ với tốc độ $5$ m/s; sau $2$ giây tới điểm $T$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
24. Cùng setup nhưng hỏi RIÊNG một thành phần ($a$ hoặc $b$) sau khi chuẩn hoá $(a;b;6)$Trả lời ngắncommon_perpendicular_component_sa(3 câu)
Câu 94.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = 0 - 3t \\ y = 2 + 3t \\ z = 2 + 2t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 + 3t \\ z = -2 - 5t \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ nhận vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tìm $a$ (hoành độ của vectơ đó).
Câu 95.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -2 - t \\ y = 0 \\ z = 1 - 5t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = 0 - 4t \\ z = -1 - 4t \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ nhận vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tìm $b$ (tung độ của vectơ đó).
Câu 96.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -3 - 4t \\ y = -3 + 5t \\ z = -3 + 5t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 - 3t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ nhận vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tìm $a$ (hoành độ của vectơ đó).
25. VTCP đường $\perp$ cả $d_1,d_2$ chuẩn hoá thành $(a;b;6)$ → tính $T=7a+5b$Trả lời ngắncommon_perpendicular_direction_expression_sa(3 câu)
Câu 97.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + 3t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 0 + 3t \\ z = 3 \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tính $T = 7a + 5b$.
Câu 98.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -3 + t \\ y = 1 \\ z = 0 - 2t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + 5t \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tính $T = 7a + 5b$.
Câu 99.Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -3 - 5t \\ y = 0 + 4t \\ z = 2 \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 2 - 5t \\ y = -2 + 2t \\ z = 0 \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương dạng $(a; b; 6)$. Tính $T = 7a + 5b$.
26. Biến thể: $d_1,d_2$ cho dạng CHÍNH TẮC + biểu thức tuyến tính khác ($T=2a-3b$)Trả lời ngắncross_product_direction_value_sa(3 câu)
Câu 100.Trong không gian $Oxyz$ (dạng tham số) cho hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = 2 - 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = -1 - 3t \end{cases}$ và $d_2:\ \begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 \\ z = 3 + t \end{cases}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có một vectơ chỉ phương $(a; b; 6)$. Tính $T = 2a - 3b$.
Câu 101.Trong không gian $Oxyz$ (dạng chính tắc) cho hai đường thẳng $d_1:\ \dfrac{x + 3}{5} = \dfrac{y + 1}{-4} = \dfrac{z - 0}{-3}$ và $d_2:\ \dfrac{x - 0}{3} = \dfrac{y - 1}{4} = \dfrac{z - 0}{-5}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có một vectơ chỉ phương $(a; b; 6)$. Tính $T = 2a - 3b$.
Câu 102.Trong không gian $Oxyz$ (dạng chính tắc) cho hai đường thẳng $d_1:\ \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z - 0}{2}$ và $d_2:\ \dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{y + 3}{5} = \dfrac{z - 0}{-3}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ có một vectơ chỉ phương $(a; b; 6)$. Tính $T = 2a - 3b$.
27. VTCP $\vec{AB} = (u_1, u_2, u_3)$Trả lời ngắndirection_vector_x_component_sa(3 câu)
Câu 103.Cho $A(1; 5; -3)$, $B(-3; -3; 1)$. VTCP $\overrightarrow{AB}$ có thành phần $u_x$ bằng bao nhiêu?
Câu 104.Cho $A(-5; 1; -1)$, $B(-4; -4; -3)$. VTCP $\overrightarrow{AB}$ có thành phần $u_x$ bằng bao nhiêu?
Câu 105.Cho $A(3; 4; -4)$, $B(-5; 4; 1)$. VTCP $\overrightarrow{AB}$ có thành phần $u_x$ bằng bao nhiêu?
28. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ qua $M_0$ với VTCP $\vec u$, qua công thức tích có hướng $d(A,d)=\dfrac{\left|[\overrightarrow{M_0A},\vec u]\right|}{|\vec u|}$Trả lời ngắndistance_point_to_line_value_sa(6 câu)
Câu 106.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(7; 10; -3)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(5; 2; 3)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(0; 4; -3)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$.
Câu 107.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(5; -2; 12)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(4; 4; 4)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(0; -3; 4)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$.
Câu 108.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(15; 3; 1)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(4; 3; -1)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(4; 0; 3)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$.
Câu 109.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(9; 7; 6)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(3; 5; 2)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(2; -1; 2)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 110.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(11; 3; -5)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(5; 3; -1)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(2; 6; 3)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 111.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(18; 0; 3)$ và đường thẳng $d$ đi qua $M_0(5; 4; -1)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(6; -2; 3)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $d$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
29. Vận dụng cao. Cho $f(x)=px^3+qx^2+rx+s$ có hai điểm cực trị; đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là $y=g(x)=ax+b$Trả lời ngắnline_through_cubic_extrema_sqrt_maxmin_sa(2 câu)
Câu 112.Cho hàm số $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4$ có đồ thị là $(C)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là đồ thị hàm số $g(x) = ax + b$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $h(x) = \sqrt{-x\,(ax + b)}$. Tính giá trị $\sqrt{8}\,(300M - 20m)$.
Câu 113.Cho hàm số $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$ có đồ thị là $(C)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là đồ thị hàm số $g(x) = ax + b$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $h(x) = \sqrt{-x\,(ax + b)}$. Tính giá trị $\sqrt{8}\,(300M - 20m)$.
30. Đường thẳng qua $A(x_0, y_0, z_0)$ với $\vec{u}$Trả lời ngắnline_x0_through_point_with_dir(3 câu)
Câu 114.Phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-4; 5; 1)$ và $B(1; -4; 1)$ có dạng $x = x_0 + a t$. Ghi $x_0$.
Câu 115.Phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-5; -2; 3)$ và $B(-4; -3; -5)$ có dạng $x = x_0 + a t$. Ghi $x_0$.
Câu 116.Phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-2; 3; -5)$ và $B(3; 4; 2)$ có dạng $x = x_0 + a t$. Ghi $x_0$.
31. Bẫy song song. Hai thanh dầm mái nhà $d_1\parallel d_2$; máng nước ở mép mái vuông góc cả hai dầm, VTCP dạng $(a;b;6)$ → tính $T=7a+5b$Trả lời ngắnparallel_rafters_gutter_direction_expression_sa(3 câu)
Câu 117.Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai thanh dầm của một mái nhà được biểu diễn bởi hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -2 + 2t_1 \\ y = -1 - t_1 \\ z = 1 + t_1 \end{cases} (t_1 \in \mathbb{R})$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 0 + 4t_2 \\ y = 2 - 2t_2 \\ z = 1 + 2t_2 \end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$. Một máng nước nằm ở mép của mái nhà và vuông góc với hai thanh dầm này được biểu diễn bởi đường thẳng có vectơ chỉ phương có tọa độ là $(a; b; 6)$. Tính giá trị của biểu thức $T = 7a + 5b$.
Câu 118.Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai thanh dầm của một mái nhà được biểu diễn bởi hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = -1 - 2t_1 \\ y = 3 - 2t_1 \\ z = 0 - 3t_1 \end{cases} (t_1 \in \mathbb{R})$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 3 - 6t_2 \\ y = -1 - 6t_2 \\ z = 2 - 9t_2 \end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$. Một máng nước nằm ở mép của mái nhà và vuông góc với hai thanh dầm này được biểu diễn bởi đường thẳng có vectơ chỉ phương có tọa độ là $(a; b; 6)$. Tính giá trị của biểu thức $T = 7a + 5b$.
Câu 119.Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai thanh dầm của một mái nhà được biểu diễn bởi hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 - 3t_1 \\ z = -2 - 2t_1 \end{cases} (t_1 \in \mathbb{R})$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 3 \\ y = 0 + 6t_2 \\ z = -1 + 4t_2 \end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$. Một máng nước nằm ở mép của mái nhà và vuông góc với hai thanh dầm này được biểu diễn bởi đường thẳng có vectơ chỉ phương có tọa độ là $(a; b; 6)$. Tính giá trị của biểu thức $T = 7a + 5b$.
32. Tìm tham số $m$ trong VTCP để đường thẳng thoả một quan hệ cho trước (ĐẢO NGƯỢC)Trả lời ngắnparam_m_for_two_lines_relation_sa(6 câu)
Câu 120.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; -1; 3)$ và đường thẳng $d_0$ có vectơ chỉ phương $\vec v = (-1; 1; -3)$. Tìm $m$ để $d \perp d_0$.
Câu 121.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; 2; 2)$ và đường thẳng $d_0$ có vectơ chỉ phương $\vec v = (4; -4; -3)$. Tìm $m$ để $d \perp d_0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 122.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; 2; 2)$ và đường thẳng $d_0$ có vectơ chỉ phương $\vec v = (-2; -2; 4)$. Tìm $m$ để $d \perp d_0$.
Câu 123.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x - 2y - 3z - 4 = 0$ và đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; 2; 3)$. Tìm $m$ để $d \parallel (P)$.
Câu 124.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -2x + 2y + 3z - 4 = 0$ và đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; -3; 4)$. Tìm $m$ để $d \parallel (P)$.
Câu 125.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -x + y + 4z + 3 = 0$ và đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u = (m; 1; -2)$. Tìm $m$ để $d \parallel (P)$.
33. Mô hình cất cánh nhưng vận tốc cho bằng m/s → phải ĐỔI sang km/h (hoặc km/phút)Trả lời ngắntakeoff_distance_from_speed_time_unit_sa(6 câu)
Câu 126.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $60$ m/s, sau $4$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $45^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 127.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $75$ m/s, sau $6$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $60^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 128.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $125$ m/s, sau $3$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $30^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 129.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $125$ m/s, sau $5$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $30^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 130.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $100$ m/s, sau $6$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $60^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 131.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $60$ m/s, sau $2$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $60^\circ$. Trên các trục đơn vị là km, $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
34. Cùng mô hình cất cánh nhưng hỏi RIÊNG cao độ $c=z_M = L\sin\alpha$Trả lời ngắntakeoff_point_altitude_sa(6 câu)
Câu 132.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $300$ km/h, sau $4$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 133.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $240$ km/h, sau $5$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $60^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 134.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $600$ km/h, sau $5$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $60^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 135.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $420$ km/h, sau $3$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $60^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 136.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $240$ km/h, sau $3$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$.
Câu 137.Một máy bay cất cánh từ $O$ bay thẳng đều với vận tốc $360$ km/h, sau $4$ phút tới điểm $M$. Góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với $Ox$ góc $30^\circ$ (đơn vị km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính độ cao $c$ của $M$.
35. Máy bay cất cánh từ O, biết quãng đường + 2 góc → $M(a;b;c)$, tính $a+b-c$Trả lời ngắntakeoff_point_coords_expression_sa(6 câu)
Câu 138.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $480$ km/h, sau $2$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $60^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $30^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 139.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $300$ km/h, sau $5$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $60^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $30^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 140.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $480$ km/h, sau $4$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $45^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 141.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $240$ km/h, sau $2$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $60^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $30^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 142.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $420$ km/h, sau $4$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $60^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 143.Một máy bay cất cánh từ vị trí $O$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $420$ km/h, sau $5$ phút thì tới điểm $M$. Biết góc giữa $OM$ và mặt đất $(Oxy)$ bằng $30^\circ$, hình chiếu của $OM$ trên mặt đất tạo với trục $Ox$ góc $45^\circ$ (đơn vị trên các trục là km). Gọi $M(a;b;c)$. Tính $a+b-c$. (Làm tròn đến hàng phần mười)