Công thức
§1. Công thức(4)
Tọa độ trọng tâm tứ diện
Tọa độ trọng tâm tam giác
Khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng
§2. Mẹo(1)
Mẹo: tìm điểm $M$ trên đường/mặt thoả $\min MA$
- $\min(MA + MB)$ với $A, B$ cùng phía: dùng phép đối xứng $B$ qua đường/mặt → $\min(MA + MB) = AB'$.
- $\max(|MA - MB|)$ với $A, B$ cùng phía: thẳng hàng $A, M, B$ → $\max |MA - MB| = AB$.
- $\min MA^2 + MB^2$: $M$ là trung điểm $AB$, $\min = AB^2/2$.
Bài tập
1. Họ tham số: tìm $t$ để $C(t)$ thẳng hàng với $A$, $B$ trên đường thẳng $AB$Trắc nghiệmcollinear_param_find_t_mcq(3 câu)
Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-5; 3; -5)$, $B(-1; -5; 2)$ và điểm $C=(-12 + 3t;\ 11;\ -15 + 3t)$ phụ thuộc tham số thực $t$. Tìm $t$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; -3; -4)$, $B(-3; -1; -3)$ và điểm $C=(0 - t;\ 8 - 3t;\ -9 + 2t)$ phụ thuộc tham số thực $t$. Tìm $t$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4; -1; -4)$, $B(-5; -2; -3)$ và điểm $C=(1 + 3t;\ -4 - t;\ 3 + 3t)$ phụ thuộc tham số thực $t$. Tìm $t$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian OxyzTrắc nghiệmdistance_two_points_3d(3 câu)
Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; 8; -3)$ và $B(8; 6; -1)$. Tính độ dài $AB$.
Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-8; 2; -7)$ và $B(-9; -7; -7)$. Tính độ dài $AB$.
Câu 6.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(7; 7; 6)$ và $B(2; -4; -7)$. Tính độ dài $AB$.
3. Hỏi ngược: cho $M$ chia đoạn $AB$ → $MA = ?\,MB$Trắc nghiệmfind_ratio_given_division_point_mcq(3 câu)
Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-3; 4; 2)$, $B(3; -2; -4)$ và $M(1; 0; -2)$ với $M$ nằm trên đoạn $AB$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-1; -5; -3)$, $B(-1; -2; 3)$ và $M(-1; -3; 1)$ với $M$ nằm trên đoạn $AB$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4; 0; -3)$, $B(4; 0; 5)$ và $M(4; 0; -1)$ với $M$ nằm trên đoạn $AB$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
4. Tính trung điểm đoạn $AB$ trong không gian $Oxyz$Trắc nghiệmmidpoint_in_space(3 câu)
Câu 10.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(6; 7; -6)$ và $B(-2; 3; 5)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.
Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 9; -7)$ và $B(5; 5; -2)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.
Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1; -8; -8)$ và $B(6; 9; 5)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.
5. Quan sát điểm $M$ trong không gian $Oxyz$ với các hình chiếu tới mặt phẳng và trục, đọc toạ độTrắc nghiệmpoint_coordinates_from_3d_figure(3 câu)
Câu 13.Quan sát điểm $M$ và các hình chiếu trên hệ trục $Oxyz$ trong hình. Toạ độ điểm $M$ là:
Câu 14.Quan sát điểm $M$ và các hình chiếu trên hệ trục $Oxyz$ trong hình. Toạ độ điểm $M$ là:
Câu 15.Quan sát điểm $M$ và các hình chiếu trên hệ trục $Oxyz$ trong hình. Toạ độ điểm $M$ là:
6. M thuộc đoạn $AB$ với $MA = k\,MB$ → tìm toạ độ $M$Trắc nghiệmpoint_divide_segment_ratio_mcq(3 câu)
Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5; 3; -3)$ và $B(-3; -1; 1)$. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $MA = \dfrac{1}{3}\,MB$ có toạ độ là:
Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5; -4; 3)$ và $B(1; -4; -5)$. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $MA = \dfrac{1}{3}\,MB$ có toạ độ là:
Câu 18.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-5; 5; -4)$ và $B(-5; 1; 4)$. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $MA = \dfrac{1}{3}\,MB$ có toạ độ là:
7. Cho $\vec{AM} = k\,\vec{AB}$ → tìm $M$Trắc nghiệmpoint_from_vector_ratio_AM_AB_mcq(3 câu)
Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 0; 2)$ và $B(-2; 0; -1)$. Tìm toạ độ điểm $M$ thoả $\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\,\vec{AB}$.
Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; -3; 2)$ và $B(2; -3; 2)$. Tìm toạ độ điểm $M$ thoả $\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\,\vec{AB}$.
Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-5; 3; 2)$ và $B(-5; -3; -1)$. Tìm toạ độ điểm $M$ thoả $\vec{AM} = \dfrac{2}{3}\,\vec{AB}$.
8. Tìm điểm trên trục toạ độ cách đều hai điểm cho trướcTrắc nghiệmpoint_on_axis_equidistant_mcq(3 câu)
Câu 22.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2; -3; -3)$ và $B(-3; 6; -1)$. Tìm toạ độ điểm $M$ nằm trên trục $Oz$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$.
Câu 23.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(6; -2; 3)$ và $B(2; -1; -2)$. Tìm toạ độ điểm $M$ nằm trên trục $Oz$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$.
Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3; -4; -6)$ và $B(2; -6; -1)$. Tìm toạ độ điểm $M$ nằm trên trục $Oy$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$.
9. Đa biểu diễn: tập hợp điểm $M$ thoả $MA = k\,MB$ là mặt phẳng / mặt cầuTrắc nghiệmsphere_or_plane_equidistant_locus_mcq(3 câu)
Câu 25.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(-1; 2; -4)$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $MA = MB$ là:
Câu 26.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3; -2; 3)$ và $B(-1; 3; 1)$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $MA = 2 \cdot MB$ là:
Câu 27.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 2; 1)$ và $B(1; 4; -2)$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $MA = 2 \cdot MB$ là:
10. Cho ba điểm $A, B, C$ cụ thể — xét đúng/sai về khoảng cách, trọng tâm tam giácĐúng / Saidist3d_facts2(3 câu)
Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 1; 1)$, $B(2; 2; 2)$, $C(3; 3; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-1; 0; 2)$, $B(4; 1; -2)$, $C(0; 2; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 1; 1)$, $B(2; 2; 2)$, $C(3; 3; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
11. Cho hai điểm $A, B$ cụ thể — xét đúng/sai về vectơ $\overrightarrow{AB}$, bình phương khoảng cách, độ dài, trung điểmĐúng / Saidistance_3d_facts(3 câu)
Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2; 2; -2)$ và $B(-1; 6; -10)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3; -1; 1)$ và $B(-1; 2; 7)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3; 2; 1)$ và $B(-4; 0; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
12. Vận dụng cao. Hình chóp $S.ABC$ đáy là tam giác đều cạnh $a$; $I$ là trung điểm $AB$; hình chiếu của $S$ lên mặt đáy là trung điểm $H$ của $CI$; góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $\varphi$Trả lời ngắndist_two_skew_lines_pyramid_equilateral_base_sa(3 câu)
Câu 34.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, biết $AB = 6$, $I$ là trung điểm cạnh $AB$, hình chiếu của điểm $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của đoạn $CI$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 35.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, biết $AB = 3$, $I$ là trung điểm cạnh $AB$, hình chiếu của điểm $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của đoạn $CI$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 36.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, biết $AB = 3$, $I$ là trung điểm cạnh $AB$, hình chiếu của điểm $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của đoạn $CI$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
13. Cho A, B, tính AB (số thập phân)Trả lời ngắndistance_3d_compute(3 câu)
Câu 37.Cho $A(1; 2; 3)$, $B(4; 6; 3)$. Tính độ dài $AB$.
Câu 38.Cho $A(1; 1; 1)$, $B(3; 4; 5)$. Tính độ dài $AB$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 39.Cho $A(2; 3; 1)$, $B(4; 5; 3)$. Tính độ dài $AB$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
14. Ứng dụng + đọc hình (VD). Hai vật chuyển động đều trong $Oxyz$ xuất phát từ $A_0, B_0$ với vận tốc vectơ $\vec v_1, \vec v_2$ (đơn vị/giây)Trả lời ngắndrone_closest_approach_two_points_argand_like_sa(3 câu)
Câu 40.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, $t$ tính bằng giây), vật thứ nhất xuất phát từ $A_0(2; 1; -2)$ chuyển động đều với vận tốc vectơ $\vec v_1 = (-1; -1; 3)$; vật thứ hai từ $B_0(0; 3; -2)$ với $\vec v_2 = (-1; -2; 3)$. Vị trí của chúng tại thời điểm $t$ là $A(t) = A_0 + t\,\vec v_1$ và $B(t) = B_0 + t\,\vec v_2$. Tìm khoảng cách NHỎ NHẤT giữa hai vật trong quá trình chuyển động.
Câu 41.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, $t$ tính bằng giây), vật thứ nhất xuất phát từ $A_0(2; 0; 4)$ chuyển động đều với vận tốc vectơ $\vec v_1 = (2; 1; 0)$; vật thứ hai từ $B_0(1; 2; 4)$ với $\vec v_2 = (3; 1; 0)$. Vị trí của chúng tại thời điểm $t$ là $A(t) = A_0 + t\,\vec v_1$ và $B(t) = B_0 + t\,\vec v_2$. Tìm khoảng cách NHỎ NHẤT giữa hai vật trong quá trình chuyển động.
Câu 42.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, $t$ tính bằng giây), vật thứ nhất xuất phát từ $A_0(0; 0; 4)$ chuyển động đều với vận tốc vectơ $\vec v_1 = (-3; -1; -3)$; vật thứ hai từ $B_0(0; -1; 1)$ với $\vec v_2 = (-3; 0; -3)$. Vị trí của chúng tại thời điểm $t$ là $A(t) = A_0 + t\,\vec v_1$ và $B(t) = B_0 + t\,\vec v_2$. Tìm khoảng cách NHỎ NHẤT giữa hai vật trong quá trình chuyển động.
15. Đảo ngược (Vận dụng). Cho $A$ nguyên và $B$ THIẾU một toạ độ (ký hiệu $m$), biết $AB = d$ (số nguyên đẹp) → tìm $m$Trả lời ngắnfind_missing_coordinate_given_distance_sa(3 câu)
Câu 43.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-5; -3; 3)$ và $B(-1; 5; m)$ (ẩn $m$ là cao độ của $B$). Biết $AB = 9$. Tìm giá trị của $m$ (lấy giá trị lớn hơn trong hai giá trị thoả mãn).
Câu 44.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(4; -3; -4)$ và $B(-5; -5; m)$ (ẩn $m$ là cao độ của $B$). Biết $AB = 11$. Tìm giá trị của $m$ (lấy giá trị lớn hơn trong hai giá trị thoả mãn).
Câu 45.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3; -5; 1)$ và $B(m; 2; 5)$ (ẩn $m$ là hoành độ của $B$). Biết $AB = 9$. Tìm giá trị của $m$ (lấy giá trị lớn hơn trong hai giá trị thoả mãn).
16. Tìm hoành độ của trung điểm $M$ của đoạn $AB$Trả lời ngắnmidpoint_x_in_space_sa(3 câu)
Câu 46.Cho $A(7; 6; 8)$, $B(3; 2; 7)$. Trung điểm $M$ của $AB$ có hoành độ là bao nhiêu?
Câu 47.Cho $A(-3; -3; -8)$, $B(3; -7; 6)$. Trung điểm $M$ của $AB$ có hoành độ là bao nhiêu?
Câu 48.Cho $A(6; 7; -8)$, $B(-3; -8; 5)$. Trung điểm $M$ của $AB$ có hoành độ là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
17. Một vật chuyển động thẳng đi qua hai điểm $A, B$ (toạ độ nguyên, mỗi đơn vị trục = ``scale`` km)Trả lời ngắnmin_distance_origin_to_line_two_points_sa(3 câu)
Câu 49.Trong không gian $Oxyz$, đặt $O(0; 0; 0)$ là gốc toạ độ. Một vật chuyển động thẳng theo quỹ đạo là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0; 1; 1)$ và $B(4; 1; 5)$. Khi vật ở gần $O$ nhất thì khoảng cách từ $O$ đến quỹ đạo bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 50.Trong không gian $Oxyz$, đặt $O(0; 0; 0)$ là gốc toạ độ. Một vật chuyển động thẳng theo quỹ đạo là đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; 1; 3)$ và $B(6; 5; 3)$. Khi vật ở gần $O$ nhất thì khoảng cách từ $O$ đến quỹ đạo bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 51.Trong không gian $Oxyz$, đặt $O(0; 0; 0)$ là gốc toạ độ. Một vật chuyển động thẳng theo quỹ đạo là đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 0; 2)$ và $B(5; 3; 2)$. Khi vật ở gần $O$ nhất thì khoảng cách từ $O$ đến quỹ đạo bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
18. Cực tiểu tổng PX + XQ với X trên mặt phẳng toạ độ (giá trị nhỏ nhất)Trả lời ngắnreflection_min_sum_distance_sa(3 câu)
Câu 52.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P(0; 0; 39)$ và $Q(30; 0; 1)$ cùng nằm về một phía của mặt phẳng $(Oxy)$. Điểm $X$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $PX + XQ$.
Câu 53.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P(0; 0; 18)$ và $Q(30; 0; 22)$ cùng nằm về một phía của mặt phẳng $(Oxy)$. Điểm $X$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $PX + XQ$.
Câu 54.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P(0; 0; 24)$ và $Q(120; 0; 136)$ cùng nằm về một phía của mặt phẳng $(Oxy)$. Điểm $X$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $PX + XQ$.
19. Tìm một tọa độ (hoành độ) của điểm chạm đất trên đường đi ngắn nhấtTrả lời ngắnreflection_touchpoint_coordinate_sa(3 câu)
Câu 55.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), cột thứ nhất tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 28)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(16; 0; 2)$. Sợi dây từ $P$ chạm mặt đất tại $X$ rồi lên $Q$ sao cho $PX + XQ$ nhỏ nhất. Tìm hoành độ $x$ của điểm chạm $X$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 56.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), cột thứ nhất tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 9)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(40; 0; 21)$. Sợi dây từ $P$ chạm mặt đất tại $X$ rồi lên $Q$ sao cho $PX + XQ$ nhỏ nhất. Tìm hoành độ $x$ của điểm chạm $X$.
Câu 57.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là $(Oxy)$), cột thứ nhất tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 9)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(24; 0; 1)$. Sợi dây từ $P$ chạm mặt đất tại $X$ rồi lên $Q$ sao cho $PX + XQ$ nhỏ nhất. Tìm hoành độ $x$ của điểm chạm $X$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
20. Tổng độ dài nhỏ nhất dây nối đỉnh hai cột chạm đất (phản chiếu qua (Oxy))Trả lời ngắnshortest_path_reflection_ground_total_sa(3 câu)
Câu 58.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$), cột thứ nhất dựng thẳng đứng tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 17)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(15; 0; 3)$. Một sợi dây căng từ $P$, chạm mặt đất tại một điểm $X$ rồi nối lên $Q$. Tính tổng độ dài nhỏ nhất $PX + XQ$.
Câu 59.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$), cột thứ nhất dựng thẳng đứng tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 41)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(45; 0; 19)$. Một sợi dây căng từ $P$, chạm mặt đất tại một điểm $X$ rồi nối lên $Q$. Tính tổng độ dài nhỏ nhất $PX + XQ$.
Câu 60.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$), cột thứ nhất dựng thẳng đứng tại $O$ có đỉnh $P(0; 0; 64)$, cột thứ hai có đỉnh $Q(60; 0; 16)$. Một sợi dây căng từ $P$, chạm mặt đất tại một điểm $X$ rồi nối lên $Q$. Tính tổng độ dài nhỏ nhất $PX + XQ$.
21. Ba cột dựng thẳng đứng: cột 1 chân tại $O$ cao $h_1$; cột 2 chân trên $Ox$ cao $h_2$; cột 3 chân trên $Oy$ cao $h_3$Trả lời ngắnthree_poles_double_reflection_sum_sa(4 câu)
Câu 61.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên. Ba cây cột thẳng đứng: chân cột 1 (cao $10$ m) ở gốc toạ độ $O$; chân cột 2 (cao $20$ m) trên trục $Ox$; chân cột 3 (cao $10$ m) trên trục $Oy$. Khoảng cách cột 1 đến cột 2 là $24$ m, khoảng cách cột 2 đến cột 3 là $30$ m. Người ta nối dây: từ đỉnh cột 2 xuống đất tại $A$ rồi lên đỉnh cột 1; từ đỉnh cột 1 xuống đất tại $B$ rồi lên đỉnh cột 3 (mỗi dây ngắn nhất). Gọi $A(x; y; z)$, $B(a; b; c)$ là hai vị trí chạm đất và $T$ là tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất. Tính $x+y+z+a+b+c+T$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 62.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên. Ba cây cột thẳng đứng: chân cột 1 (cao $10$ m) ở gốc toạ độ $O$; chân cột 2 (cao $15$ m) trên trục $Ox$; chân cột 3 (cao $20$ m) trên trục $Oy$. Khoảng cách cột 1 đến cột 2 là $30$ m, khoảng cách cột 2 đến cột 3 là $50$ m. Người ta nối dây: từ đỉnh cột 2 xuống đất tại $A$ rồi lên đỉnh cột 1; từ đỉnh cột 1 xuống đất tại $B$ rồi lên đỉnh cột 3 (mỗi dây ngắn nhất). Gọi $A(x; y; z)$, $B(a; b; c)$ là hai vị trí chạm đất và $T$ là tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất. Tính $x+y+z+a+b+c+T$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 63.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên. Ba cây cột thẳng đứng: chân cột 1 (cao $10$ m) ở gốc toạ độ $O$; chân cột 2 (cao $20$ m) trên trục $Ox$; chân cột 3 (cao $10$ m) trên trục $Oy$. Khoảng cách cột 1 đến cột 2 là $24$ m, khoảng cách cột 2 đến cột 3 là $30$ m. Người ta nối dây: từ đỉnh cột 2 xuống đất tại $A$ rồi lên đỉnh cột 1; từ đỉnh cột 1 xuống đất tại $B$ rồi lên đỉnh cột 3 (mỗi dây ngắn nhất). Gọi $A(x; y; z)$, $B(a; b; c)$ là hai vị trí chạm đất và $T$ là tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất. Tính $x+y+z+a+b+c+T$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 64.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên. Ba cây cột thẳng đứng: chân cột 1 (cao $10$ m) ở gốc toạ độ $O$; chân cột 2 (cao $15$ m) trên trục $Ox$; chân cột 3 (cao $20$ m) trên trục $Oy$. Khoảng cách cột 1 đến cột 2 là $30$ m, khoảng cách cột 2 đến cột 3 là $50$ m. Người ta nối dây: từ đỉnh cột 2 xuống đất tại $A$ rồi lên đỉnh cột 1; từ đỉnh cột 1 xuống đất tại $B$ rồi lên đỉnh cột 3 (mỗi dây ngắn nhất). Gọi $A(x; y; z)$, $B(a; b; c)$ là hai vị trí chạm đất và $T$ là tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất. Tính $x+y+z+a+b+c+T$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
22. Cho >=3 khoảng cách tới các mốc → tìm OM (khoảng cách từ M tới gốc O)Trả lời ngắntrilateration_distance_to_origin_sa(3 câu)
Câu 65.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$, $D(0; 0; 3)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{11}$, $MB = \sqrt{14}$, $MC = \sqrt{3}$, $MD = \sqrt{14}$. Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến gốc toạ độ $O$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 66.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$, $D(0; 0; 6)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{21}$, $MB = \sqrt{18}$, $MC = \sqrt{29}$, $MD = 3$. Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến gốc toạ độ $O$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 67.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$, $D(0; 0; 4)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{27}$, $MB = \sqrt{19}$, $MC = \sqrt{19}$, $MD = \sqrt{19}$. Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến gốc toạ độ $O$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
23. Tìm một tọa độ (hoành/tung/cao độ) của điểm MTrả lời ngắntrilateration_find_coordinate_sa(3 câu)
Câu 68.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 5; 0)$, $D(0; 0; 3)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{43}$, $MB = \sqrt{22}$, $MC = \sqrt{38}$, $MD = \sqrt{34}$. Tìm cao độ $z$ của điểm $M$.
Câu 69.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(0; 6; 0)$, $D(0; 0; 4)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{50}$, $MB = \sqrt{42}$, $MC = \sqrt{38}$, $MD = \sqrt{26}$. Tìm hoành độ $x$ của điểm $M$.
Câu 70.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm mốc $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 6; 0)$, $D(0; 0; 3)$. Điểm $M$ thoả mãn $MA = \sqrt{30}$, $MB = 3$, $MC = \sqrt{42}$, $MD = \sqrt{33}$. Tìm cao độ $z$ của điểm $M$.
24. Khoảng cách có hệ số đơn vị (×10 m) → tính OM theo métTrả lời ngắntrilateration_with_unit_scale_sa(3 câu)
Câu 71.Một hệ định vị đặt 4 trạm mốc tại $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(0; 7; 0)$, $D(0; 0; 5)$ (đơn vị mỗi trục là $10$ m). Một thiết bị $M$ đo được $MA = \sqrt{70}$, $MB = \sqrt{46}$, $MC = \sqrt{35}$, $MD = \sqrt{65}$ (cùng đơn vị $10$ m). Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến trạm gốc $O$, theo mét. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 72.Một hệ định vị đặt 4 trạm mốc tại $A(0; 0; 0)$, $B(5; 0; 0)$, $C(0; 5; 0)$, $D(0; 0; 6)$ (đơn vị mỗi trục là $10$ m). Một thiết bị $M$ đo được $MA = \sqrt{50}$, $MB = \sqrt{35}$, $MC = \sqrt{45}$, $MD = \sqrt{26}$ (cùng đơn vị $10$ m). Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến trạm gốc $O$, theo mét. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 73.Một hệ định vị đặt 4 trạm mốc tại $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(0; 5; 0)$, $D(0; 0; 3)$ (đơn vị mỗi trục là $10$ m). Một thiết bị $M$ đo được $MA = \sqrt{30}$, $MB = \sqrt{30}$, $MC = \sqrt{45}$, $MD = 3$ (cùng đơn vị $10$ m). Tính khoảng cách $OM$ từ $M$ đến trạm gốc $O$, theo mét. (Làm tròn đến hàng phần mười)
25. Người 1 bắn đạn theo đường thẳng qua $A,B$; đạn chạm mục tiêu/đạn 2 tại điểm $P$ cách $A$ một khoảng $L$ mTrả lời ngắntwo_trajectories_collision_segment_sa(6 câu)
Câu 74.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(0; 0; 0)$ và $B(2; 1; 2)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(6; 3; 6)$ và điểm $D$ ở độ cao $18$ m so với mặt đất (tức $z_D = 18$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $45$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 75.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(5; 7; 10)$ và $B(6; 9; 12)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(15; 17; 5)$ và điểm $D$ ở độ cao $26$ m so với mặt đất (tức $z_D = 26$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $150$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 76.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(0; 0; 0)$ và $B(1; 2; 2)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(4; 8; 2)$ và điểm $D$ ở độ cao $11$ m so với mặt đất (tức $z_D = 11$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $30$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 77.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(0; 0; 0)$ và $B(1; 2; 2)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(4; 8; 2)$ và điểm $D$ ở độ cao $11$ m so với mặt đất (tức $z_D = 11$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $30$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 78.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(5; 7; 10)$ và $B(6; 9; 12)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(15; 17; 5)$ và điểm $D$ ở độ cao $26$ m so với mặt đất (tức $z_D = 26$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $150$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 79.Trong một đợt diễn tập, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), người thứ nhất bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua hai điểm $A(0; 0; 0)$ và $B(2; 1; 2)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi theo đường thẳng qua điểm $C(6; 3; 6)$ và điểm $D$ ở độ cao $18$ m so với mặt đất (tức $z_D = 18$). Biết hai viên đạn chạm nhau tại một điểm cách $A$ một khoảng $45$ m. Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?