Vị trí tương đối

Công thức

§1. Tính chất(3)

1.1

Vị trí tương đối đường thẳng — mặt phẳng

Cho $d$ qua $M_0$ chỉ phương $\vec{u}$, $(P)$ pháp tuyến $\vec{n}$:

$\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$: $d$ cắt $(P)$ tại 1 điểm.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \notin (P)$: $d$ song song $(P)$.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \in (P)$: $d$ nằm trong $(P)$.
Đặc biệt: $\vec{u} \parallel \vec{n}$ → $d \perp (P)$.

1.2

Vị trí tương đối 2 đường thẳng (không gian)

Cho $d_1, d_2$ với chỉ phương $\vec{u_1}, \vec{u_2}$, $M_1 \in d_1$, $M_2 \in d_2$:

$\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \in d_2$: trùng.
$\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \notin d_2$: song song.
$\vec{u_1} \not\parallel \vec{u_2}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0$: cắt nhau.
$[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} \neq 0$: chéo nhau.

1.3

Vị trí tương đối 2 mặt phẳng

Cho $(P_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$, $(P_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$:

$\vec{n_1}, \vec{n_2}$ KHÔNG cùng phương: cắt nhau theo 1 đường thẳng.
$\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ và $(P_1) \neq (P_2)$: song song.
$\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ và 2 phương trình tỉ lệ hoàn toàn (kể cả $D$): trùng nhau.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$: 2 mặt phẳng vuông góc.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình kiểm tra vị trí tương đối

Bước 1. Xác định các vectơ chỉ phương / pháp tuyến của các đối tượng. Bước 2. Kiểm tra điều kiện cùng phương (cross product = $\vec{0}$). Bước 3. Nếu cùng phương → kiểm tra trùng/song song bằng cách thay 1 điểm. Bước 4. Nếu không cùng phương → tính tích hỗn tạp để phân biệt cắt/chéo (cho 2 đường) hoặc tính tích vô hướng để xét vuông góc.

Bài tập

1. Cho $d$, chọn đường thẳng SONG SONG với $d$ trong 4 phương ánTrắc nghiệm`choose_line_parallel_to_given_line_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x + 3}{2} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z + 2}{2}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $d$?

A.$\begin{cases} x = -5 + 4t \\ y = 1 - 2t \\ z = -4 + 4t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -3 - t \\ y = -3 - 3t \\ z = -3 - t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 - 3t \\ y = 3 - 3t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -1 - 4t \\ y = 1 + 2t \\ z = 0 - 4t \end{cases}$

Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x + 3}{-1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 3}{-1}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $d$?

A.$\begin{cases} x = 0 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -4 - 3t \\ y = 3 + 3t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -6 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 4 + t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = -2 - 4t \\ z = 4 + 2t \end{cases}$

Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 3}{2} = \dfrac{y - 4}{-2} = \dfrac{z + 2}{3}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $d$?

A.$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 0 - 4t \\ y = 6 + 4t \\ z = -3 - 6t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 4 - t \\ z = -2 + t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 5 + 6t \\ y = 2 - 6t \\ z = 1 + 9t \end{cases}$

2. Cho $(P)$, chọn đường thẳng SONG SONG với $(P)$ (phân biệt với nằm trong $(P)$)Trắc nghiệm`choose_line_parallel_to_plane_mcq`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -x - 2y - 3z + 2 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = 2 + 12t \\ y = 3 - 9t \\ z = 4 + 2t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = -3 - t \\ z = -1 - 2t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -1 + 12t \\ y = 3 - 9t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -3 + t \\ y = -4 - t \\ z = -1 - t \end{cases}$

Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -2x + 2y + 2z + 2 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -3 \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 - 3t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 0 + 2t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

Câu 6.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -3x + 3y + 3z + 3 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 0 - 2t \\ z = 0 + t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = -3 - t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -3 + 15t \\ y = -4 \\ z = 0 + 15t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 2 + 15t \\ y = -1 \\ z = 4 + 15t \end{cases}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -x + 3y + 2z - 3 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -3 + 3t \\ y = -3 + t \\ z = -2 - 3t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 1 + 9t \\ y = 3 - 3t \\ z = 3 + 9t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = 0 + 9t \\ y = -1 - 3t \\ z = 3 + 9t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -3 - 3t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -x + 2y - 2z + 4 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = 0 - 2t \\ z = 0 - t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 0 - 2t \\ y = 0 - 2t \\ z = 0 + t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -4 - 2t \\ y = -4 - 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 0 - t \\ z = -3 - 3t \end{cases}$

Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 3x + 3y - z + 5 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 3t \\ z = -3 + 3t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 0 - 8t \\ y = -1 + 6t \\ z = 2 - 6t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 4 + t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 4 - 8t \\ y = 0 + 6t \\ z = 4 - 6t \end{cases}$

3. Cho $d$, chọn đường thẳng CHÉO NHAU với $d$Trắc nghiệm`choose_line_skew_to_given_line_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 3}{-3}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào chéo nhau với $d$?

A.$\begin{cases} x = -2 - 6t \\ y = -2 - 4t \\ z = 5 + 6t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 4 + 6t \\ y = 2 + 4t \\ z = 0 - 6t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -7 - 3t \\ z = 12 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -4 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 2 - 2t \end{cases}$

Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{-3} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z + 4}{2}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào chéo nhau với $d$?

A.$\begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -1 - 6t \\ z = -5 - 4t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -6 + 6t \\ y = 6 - 6t \\ z = 0 - 4t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = 4 - 3t \\ y = 0 + t \\ z = 0 - t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases}$

Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{-1} = \dfrac{y + 3}{-2} = \dfrac{z - 2}{3}$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào chéo nhau với $d$?

A.$\begin{cases} x = -1 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -6 + 2t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 - 2t \\ y = -4 + t \\ z = 8 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -1 - 6t \\ z = -1 + 9t \end{cases}$

4. Ứng dụng: mô hình hoá tấm phẳng (mái nhà/pin/vách...) trong $Oxyz$ rồi xác định cặp mặt phẳng SONG SONG hoặc mặt phẳng VUÔNG GÓC VỚI SÀNTrắc nghiệm`design_box_faces_relative_position_application_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Một công trình được mô hình hoá trong không gian $Oxyz$: sàn là $(P_0): z = 0$ (vectơ pháp tuyến $\vec n_0 = (0; 0; 1)$); bốn mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(\alpha): 2x + y + 2z - 1 = 0$, \; $(\beta): 2x + y + z - 5 = 0$, \; $(\gamma): 2x + 3y - 5 = 0$, \; $(\delta): 4x + 2y + 2z - 4 = 0$. Hỏi hai mái nhà nào song song với nhau?

A.(\alpha) và (\delta)

B.(\alpha) và (\gamma)

C.(\alpha) và (\beta)

D.(\beta) và (\delta)

Câu 14.Một công trình được mô hình hoá trong không gian $Oxyz$: sàn là $(P_0): z = 0$ (vectơ pháp tuyến $\vec n_0 = (0; 0; 1)$); bốn tấm pin mặt trời lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(\alpha): -x + 2y + 2z + 2 = 0$, \; $(\beta): 3x - 2y - 1 = 0$, \; $(\gamma): 2x + 4y - 2z + 3 = 0$, \; $(\delta): x + 2y - z - 3 = 0$. Hỏi mặt phẳng nào vuông góc với sàn?

A.(\alpha)

B.(\delta)

C.(\gamma)

D.(\beta)

Câu 15.Một công trình được mô hình hoá trong không gian $Oxyz$: sàn là $(P_0): z = 0$ (vectơ pháp tuyến $\vec n_0 = (0; 0; 1)$); bốn vách ngăn lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(\alpha): 2x + 4y + 4z - 3 = 0$, \; $(\beta): x + 2y + 2z + 2 = 0$, \; $(\gamma): 2x + y + 2z + 2 = 0$, \; $(\delta): x - 2y - 3 = 0$. Hỏi hai vách ngăn nào song song với nhau?

A.(\alpha) và (\gamma)

B.(\beta) và (\gamma)

C.(\alpha) và (\delta)

D.(\alpha) và (\beta)

5. Tìm $m$ để mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ cho trướcTrắc nghiệm`find_m_plane_cuts_sphere_circle_radius_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(-1; 2; 0)$, bán kính $R = 5$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z + m = 0$. Tìm $m$ để $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $4$.

A.$m = 9$

B.$m = 15 \text{ hoặc } m = -15$

C.$m = -9$

D.$m = -9 \text{ hoặc } m = 9$

Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(0; -1; -3)$, bán kính $R = 17$ và mặt phẳng $(P): -2x + 2y + z + m = 0$. Tìm $m$ để $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $15$.

A.$m = 56 \text{ hoặc } m = -46$

B.$m = -19 \text{ hoặc } m = 29$

C.$m = -19$

D.$m = 29$

Câu 18.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 0; 1)$, bán kính $R = 10$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + m = 0$. Tìm $m$ để $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $8$.

A.$m = 14$

B.$m = 26 \text{ hoặc } m = -34$

C.$m = -22$

D.$m = -22 \text{ hoặc } m = 14$

6. Tìm $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$ — VTPT cùng phươngTrắc nghiệm`find_m_two_planes_parallel_mcq`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): -3x + 3y - z + 3 = 0$ và $(\beta): 9x - 9y + mz + 2 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = -1$

B.$m = -3$

C.$m = 3$

D.$m = 0$

Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): -2x + 3y - 2z + 1 = 0$ và $(\beta): 4x - 6y + mz + 4 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = 4$

B.$m = -4$

C.$m = -2$

D.$m = 2$

Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): 2x + 3y - 2z + 5 = 0$ và $(\beta): 6x + 9y + mz + 4 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = -2$

B.$m = 6$

C.$m = 3$

D.$m = -6$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): -2x - 2y - 3z + 4 = 0$ và $(\beta): -4x - 4y + mz - 5 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = 2$

B.$m = 6$

C.$m = -6$

D.$m = -3$

Câu 23.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): 2x - y + 3z + 5 = 0$ và $(\beta): -6x + 3y + mz - 4 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = -3$

B.$m = 9$

C.$m = -9$

D.$m = 3$

Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - 2z - 5 = 0$ và $(\beta): -3x - 6y + mz - 8 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

A.$m = -6$

B.$m = 6$

C.$m = -3$

D.$m = -2$

7. Tìm $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$ — điều kiện $\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$Trắc nghiệm`find_m_two_planes_perpendicular_mcq`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + 3z - 3 = 0$ và $(\beta): -4x + 4y + mz - 3 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = -12$

B.$m = 12$

C.$m = -4$

D.$m = 4$

Câu 26.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): -2x + y - z + 3 = 0$ và $(\beta): x + 4y + mz - 4 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = 1$

B.$m = 3$

C.$m = -2$

D.$m = 2$

Câu 27.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): 2x + 2y + 2z + 4 = 0$ và $(\beta): -3x + y + mz + 5 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = 2$

B.$m = -3$

C.$m = 4$

D.$m = -2$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): 4x + y + 3z - 4 = 0$ và $(\beta): -3x + 3y + mz - 5 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = 9$

B.$m = -3$

C.$m = 3$

D.$m = 4$

Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): -2x - y + 2z + 3 = 0$ và $(\beta): 4x + 2y + mz - 1 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = 5$

B.$m = -4$

C.$m = -5$

D.$m = 10$

Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): 2x - 4y - 2z - 4 = 0$ và $(\beta): 3x - y + mz - 1 = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$.

A.$m = -3$

B.$m = -10$

C.$m = 5$

D.$m = -5$

8. Tìm $m$ để hai mặt cầu TIẾP XÚC NGOÀITrắc nghiệm`find_m_two_spheres_tangent_outside_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(-1; 0; 2)$, bán kính $R_1 = 4$ và $(S_2)$ tâm $I_2(3; 1; m)$, bán kính $R_2 = 5$ (với $m > 0$). Tìm $m$ để hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.

A.$m = 11$

B.$m = 10$

C.$m = 66$

D.$m = -6$

Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(-2; -1; 0)$, bán kính $R_1 = 5$ và $(S_2)$ tâm $I_2(1; -3; m)$, bán kính $R_2 = 2$ (với $m > 0$). Tìm $m$ để hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.

A.$m = 7$

B.$m = -6$

C.$m = 6$

D.$m = 36$

Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(3; 3; -2)$, bán kính $R_1 = 2$ và $(S_2)$ tâm $I_2(-3; 5; m)$, bán kính $R_2 = 5$ (với $m > 0$). Tìm $m$ để hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.

A.$m = 1$

B.$m = 5$

C.$m = 7$

D.$m = -5$

9. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệm`line_plane_relative_position`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Đường có $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và đi qua $(0;0;0)$, mặt phẳng $x + y + z = 1$. Hỏi vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng?

A.$\text{Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (thực ra là $\vec{u} \parallel \vec{n}$)}$

B.Đường thẳng cắt mặt phẳng

C.Đường thẳng song song với mặt phẳng

D.Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Câu 35.Đường có $\vec{u} = (1; 1; -2)$ và mặt phẳng có $\vec{n} = (1; 1; 1)$, điểm trên đường thuộc mặt phẳng. Hỏi vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng?

A.$\text{Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (thực ra là $\vec{u} \parallel \vec{n}$)}$

B.Đường thẳng cắt mặt phẳng

C.Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

D.Đường thẳng song song với mặt phẳng

Câu 36.Đường có $\vec{u} = (1; 2; 3)$, mặt phẳng có $\vec{n} = (2; 4; 6)$. Hỏi vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng?

A.$\text{Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (thực ra là $\vec{u} \parallel \vec{n}$)}$

B.Đường thẳng cắt mặt phẳng

C.Đường thẳng song song với mặt phẳng

D.Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

10. ĐỌC HÌNH lát cắt mặt cầu–mặt phẳng: nhìn hình + số liệu $R, d$ → so $d$ với $R$ để kết luận vị trí tương đối, và tính bán kính giao tuyến nếu cắtTrắc nghiệm`read_figure_sphere_plane_position_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Hình vẽ mô tả mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Biết bán kính $R = 15$ và khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng $d\big(I, (P)\big) = 15$ (xem hình). Dựa vào hình và số liệu, kết luận nào sau đây ĐÚNG?

Mặt cầu (S) tâm I bán kính R=15 và mặt phẳng (P) với d(I,(P))=15

A.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=15

B.(P) tiếp xúc (S) tại đúng 1 điểm

C.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=0

D.(P) không cắt (S) (không có điểm chung)

Câu 38.Hình vẽ mô tả mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Biết bán kính $R = 10$ và khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng $d\big(I, (P)\big) = 10$ (xem hình). Dựa vào hình và số liệu, kết luận nào sau đây ĐÚNG?

Mặt cầu (S) tâm I bán kính R=10 và mặt phẳng (P) với d(I,(P))=10

A.(P) không cắt (S) (không có điểm chung)

B.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=10

C.(P) tiếp xúc (S) tại đúng 1 điểm

D.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=0

Câu 39.Hình vẽ mô tả mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Biết bán kính $R = 15$ và khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng $d\big(I, (P)\big) = 9$ (xem hình). Dựa vào hình và số liệu, kết luận nào sau đây ĐÚNG?

Mặt cầu (S) tâm I bán kính R=15 và mặt phẳng (P) với d(I,(P))=9

A.(P) tiếp xúc (S) tại đúng 1 điểm

B.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=6

C.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=12

D.(P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=4

11. ĐẢO NGƯỢC: cho điểm $A$ và $(P)$, chọn phương trình đường thẳng có VỊ TRÍ đã yêu cầu với $(P)$ (nằm trong / song song / cắt-không-vuông-góc / vuông góc)Trắc nghiệm`reverse_find_line_eq_given_relation_to_plane_mcq`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P): -x - 3y - 2z + 1 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = 2 + 12t \\ y = 1 - 4t \\ z = -2 \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 4 - 7t \\ z = 1 + 9t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -4 - 2t \\ y = 3 - 6t \\ z = 2 - 4t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -4 + 3t \\ y = -3 - 2t \\ z = -3 - 3t \end{cases}$

Câu 41.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0; 3; 2)$ và mặt phẳng $(P): -3x + y + 3z - 9 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào nằm trong $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -1 - 8t \\ y = 3 - 9t \\ z = 1 - 5t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = -2 + t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 + 7t \\ y = 0 - 3t \\ z = -4 + 8t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 4 - 3t \\ y = -1 + t \\ z = 1 + 3t \end{cases}$

Câu 42.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; 0; 2)$ và mặt phẳng $(P): 2x - 3y - 2z + 1 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào song song với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -3 - t \\ y = 3 + 8t \\ z = -7 - 13t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -1 - 13t \\ y = 4 \\ z = 0 - 13t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 0 + 3t \\ z = 0 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -3 - 3t \\ z = -4 - 2t \end{cases}$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 43.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1; 2; 2)$ và mặt phẳng $(P): -2x + y - 3z + 2 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào vuông góc với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -3 - t \\ z = 3 + 3t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 + 9t \\ y = 2 + 12t \\ z = -3 - 2t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 4 - 6t \\ y = 3 - 12t \\ z = -1 \end{cases}$

Câu 44.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-2; -3; -2)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 3y - z + 11 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào vuông góc với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = 4 + 4t \\ y = -3 \\ z = -3 + 8t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -4 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -3 + t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = -3 - 2t \\ z = -4 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 3 - 7t \\ z = 24 - 13t \end{cases}$

Câu 45.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-2; 2; 0)$ và mặt phẳng $(P): -x - 2y + 3z + 2 = 0$. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào vuông góc với $(P)$?

A.$\begin{cases} x = -3 - 4t \\ y = -4 - 7t \\ z = 0 - 6t \end{cases}$

B.$\begin{cases} x = -1 - t \\ y = -3 - t \\ z = -3 - t \end{cases}$

C.$\begin{cases} x = -2 - t \\ y = 1 - 2t \\ z = 0 + 3t \end{cases}$

D.$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 - t \\ z = 4 + 2t \end{cases}$

12. Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng dựa vào $d(I, (P))$ vs $R$Trắc nghiệm`sphere_plane_relative`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$ thoả mãn $d(I, (P)) < R$. Xác định vị trí tương đối của $(P)$ và $(S)$.

A.Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu

B.Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn

C.Mặt phẳng không cắt mặt cầu

D.Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Câu 47.Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$ thoả mãn $d(I, (P)) > R$. Xác định vị trí tương đối của $(P)$ và $(S)$.

A.Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn

B.Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu

C.Mặt phẳng không cắt mặt cầu

D.Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Câu 48.Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$ thoả mãn $d(I, (P)) < R$. Xác định vị trí tương đối của $(P)$ và $(S)$.

A.Mặt phẳng không cắt mặt cầu

B.Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu

C.Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn

D.Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

13. Xác định vị trí tương đối của $d_1, d_2$ — 4 đáp án song song/trùng/cắt/chéoTrắc nghiệm`two_lines_relative_position_mcq`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x + 4}{-2} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 3}{-3}$ và $d_2: \begin{cases} x = -1 - 4t \\ y = 4 + 4t \\ z = -6 - 6t \end{cases}$. Xác định vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.

A.Chéo nhau

B.Cắt nhau

C.Trùng nhau

D.Song song

Câu 50.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x - 1}{-1} = \dfrac{y + 7}{-2} = \dfrac{z + 7}{-3}$ và $d_2: \begin{cases} x = 5 - 2t \\ y = -2 - t \\ z = 0 - t \end{cases}$. Xác định vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.

A.Chéo nhau

B.Trùng nhau

C.Cắt nhau

D.Song song

Câu 51.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z + 3}{-2}$ và $d_2: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -4 - t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$. Xác định vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$.

A.Trùng nhau

B.Cắt nhau

C.Song song

D.Chéo nhau

14. Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng — song song / trùng / cắtTrắc nghiệm`two_planes_parallel_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(x - y + 2z = 0)$ và $(2x - 2y + 4z = 0)$.

A.Vuông góc

B.Trùng nhau

C.Cắt nhau

D.Song song

Câu 53.Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(x + 2y + 3z + 1 = 0)$ và $(2x + 4y + 6z + 5 = 0)$.

A.Vuông góc

B.Trùng nhau

C.Song song

D.Cắt nhau

Câu 54.Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(2x + y - z + 1 = 0)$ và $(4x + 2y - 2z - 6 = 0)$.

A.Song song

B.Vuông góc

C.Cắt nhau

D.Trùng nhau

15. Vị trí tương đối 2 mặt cầu — so $d(I_1, I_2)$ với $|R_1 - R_2|$ và $R_1 + R_2$Trắc nghiệm`two_spheres_relative_position`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(1;0;0)$, bán kính $R_1 = 10$ và $(S_2)$ tâm $I_2(4;4;0)$, bán kính $R_2 = 2$. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu.

A.Mặt cầu này nằm trong mặt cầu kia

B.Hai mặt cầu cắt nhau

C.Hai mặt cầu ngoài nhau

D.Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài

Câu 56.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(0;-1;0)$, bán kính $R_1 = 19$ và $(S_2)$ tâm $I_2(8;14;0)$, bán kính $R_2 = 2$. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu.

A.Hai mặt cầu tiếp xúc trong

B.Hai mặt cầu ngoài nhau

C.Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài

D.Hai mặt cầu cắt nhau

Câu 57.Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $I_1(-2;0;0)$, bán kính $R_1 = 1$ và $(S_2)$ tâm $I_2(3;12;0)$, bán kính $R_2 = 2$. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu.

A.Hai mặt cầu ngoài nhau

B.Hai mặt cầu cắt nhau

C.Hai mặt cầu tiếp xúc trong

D.Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài

16. Đúng/sai về vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng trong $Oxyz$Đúng / Sai`relative_position_independent_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y + z - 4 = 0$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1; 1; 1)$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để đường thẳng $d \perp (P)$ thì $\vec{u}$ phải cùng phương với $\vec{n}$.

b)Điểm $M(1; 1; 1)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

c)Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1; 1; 1)$.

d)Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (1; 0; -1)$.

Câu 59.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y + z - 4 = 0$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1; 1; 1)$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $M(1; 1; 1)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

b)Để đường thẳng $d \perp (P)$ thì $\vec{u}$ phải cùng phương với $\vec{n}$.

c)Tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$.

d)Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (1; 0; -1)$.

Câu 60.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + 2y + z - 5 = 0$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1; 1; 1)$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$.

b)Điểm $M(1; 1; 1)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

c)Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1; 2; 1)$.

d)Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (1; 0; -1)$.

17. Đúng/sai: mặt cầu & mặt phẳng cho bằng PHƯƠNG TRÌNH (tính $d$ so $R$, bẫy khái niệm)Đúng / Sai`sphere_plane_relative_facts_from_equation_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z - 20 = 0$ và mặt phẳng $(P): -2x + y + 2z - 9 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn.

b)Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ bằng $15$ (chưa chia cho $|\vec n|$).

c)Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=5$.

d)Tâm mặt cầu $(S)$ là $I(2; 0; -1)$.

Câu 62.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 1 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 4 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính mặt cầu bằng $1$.

b)Mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $I$ của mặt cầu.

c)Nếu $(P)$ đi qua tâm $I$ thì giao tuyến là đường tròn lớn bán kính $R$.

d)Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-e}=3$.

Câu 63.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ và mặt phẳng $(P): 3x + 4y - 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính mặt cầu bằng $5$.

b)Mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $I$ của mặt cầu.

c)Khi mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu thì chúng có vô số điểm chung.

d)Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=1$.

18. Đếm cấu hình vị trí tương đối — đáp số nguyên nhỏTrả lời ngắn`count_lines_equidistant_or_through_skew_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Cho đường thẳng $d$ và điểm $A \notin d$. Qua $A$ kẻ được bao nhiêu đường thẳng vuông góc với $d$? (quy ước: nhập $-1$ nếu có vô số)

Câu 65.Cho điểm $A$ và mặt phẳng $(P)$, $A \notin (P)$. Có bao nhiêu đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$?

Câu 66.Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$, $d_2$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $d_1$ và song song với $d_2$?

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 67.Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$, $d_2$ và một điểm $A$ không thuộc cả hai. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua $A$ và cắt cả $d_1$ lẫn $d_2$? (trường hợp tổng quát, $A$ và $d_1$ xác định một mặt phẳng cắt $d_2$)

Câu 68.Cho mặt cầu $(S)$ và đường thẳng $d$ cắt $(S)$ tại $2$ điểm phân biệt. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$?

Câu 69.Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$, $d_2$. Có bao nhiêu đường thẳng vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$?

19. Vận dụng cao. Trong mặt phẳng $(P): y = p_0$, điểm $M$ cách một đường thẳng $d \parallel Oy$ một khoảng cố định $r_M$ ⇒ $M$ thuộc đường tròn (tâm trên $d$, bán kính $r_M$) nằm trong $(P)$Trả lời ngắn`min_distance_tube_apollonius_circles_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 70.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): y - 4 = 0$, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 16 \end{cases}$ và hai điểm $A(-4; -4; -4)$, $B(-1; 2; 2)$. Hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA = 2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

Câu 71.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): y - 0 = 0$, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 12 \end{cases}$ và hai điểm $A(0; 0; 0)$, $B(0; 0; 3)$. Hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$ và $NA = 2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

Câu 72.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): y - 2 = 0$, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 \\ y = t \\ z = 2 \end{cases}$ và hai điểm $A(-2; -6; 22)$, $B(1; 0; 16)$. Hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA = 2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

20. Vận dụng cao. Cho đường thẳng $d$ (qua $P_0$, VTCP $\vec u$) và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec n$Trả lời ngắn`min_length_segment_line_cuts_axis_and_line_parallel_plane_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 2}{1}$ và mặt phẳng $(P): 3x - y + z - 25 = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 74.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - z = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 75.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P): 2x + y - z = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 76.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - z = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 77.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P): 2x + y - z = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 78.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 2}{1}$ và mặt phẳng $(P): 3x - y + z - 25 = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

21. Số giao điểm — đáp án 1 / 0 / -1 (vô số)Trả lời ngắn`number_of_intersection_line_plane`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 79.Đường thẳng cắt mặt phẳng tại đúng 1 điểm. Số giao điểm là?

Câu 80.Đường thẳng song song với mặt phẳng. Số giao điểm là?

Câu 81.Đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Số giao điểm là (-1 cho vô số, 0, 1)?

22. Số điểm chung mặt cầu / mặt phẳng — 0 / 1 / -1 (vô số)Trả lời ngắn`sphere_plane_intersection_count`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 82.Mặt cầu và mặt phẳng có $d(I, (P)) < R$. Số điểm chung là $-1$ nếu vô số, $0$ nếu rỗng, $1$ nếu 1.

Câu 83.Mặt cầu và mặt phẳng có $d(I, (P)) > R$. Số điểm chung?

Câu 84.Mặt cầu và mặt phẳng có $d(I, (P)) = R$. Số điểm chung?

Công thức

§1. Tính chất(3)

§2. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cho $d$, chọn đường thẳng SONG SONG với $d$ trong 4 phương ánTrắc nghiệmchoose_line_parallel_to_given_line_mcq(3 câu)

2. Cho $(P)$, chọn đường thẳng SONG SONG với $(P)$ (phân biệt với nằm trong $(P)$)Trắc nghiệmchoose_line_parallel_to_plane_mcq(6 câu)

3. Cho $d$, chọn đường thẳng CHÉO NHAU với $d$Trắc nghiệmchoose_line_skew_to_given_line_mcq(3 câu)

4. Ứng dụng: mô hình hoá tấm phẳng (mái nhà/pin/vách...) trong $Oxyz$ rồi xác định cặp mặt phẳng SONG SONG hoặc mặt phẳng VUÔNG GÓC VỚI SÀNTrắc nghiệmdesign_box_faces_relative_position_application_mcq(3 câu)

5. Tìm $m$ để mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ cho trướcTrắc nghiệmfind_m_plane_cuts_sphere_circle_radius_mcq(3 câu)

6. Tìm $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$ — VTPT cùng phươngTrắc nghiệmfind_m_two_planes_parallel_mcq(6 câu)

7. Tìm $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$ — điều kiện $\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$Trắc nghiệmfind_m_two_planes_perpendicular_mcq(6 câu)

8. Tìm $m$ để hai mặt cầu TIẾP XÚC NGOÀITrắc nghiệmfind_m_two_spheres_tangent_outside_mcq(3 câu)

9. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệmline_plane_relative_position(3 câu)

10. ĐỌC HÌNH lát cắt mặt cầu–mặt phẳng: nhìn hình + số liệu $R, d$ → so $d$ với $R$ để kết luận vị trí tương đối, và tính bán kính giao tuyến nếu cắtTrắc nghiệmread_figure_sphere_plane_position_mcq(3 câu)

11. ĐẢO NGƯỢC: cho điểm $A$ và $(P)$, chọn phương trình đường thẳng có VỊ TRÍ đã yêu cầu với $(P)$ (nằm trong / song song / cắt-không-vuông-góc / vuông góc)Trắc nghiệmreverse_find_line_eq_given_relation_to_plane_mcq(6 câu)

12. Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng dựa vào $d(I, (P))$ vs $R$Trắc nghiệmsphere_plane_relative(3 câu)

13. Xác định vị trí tương đối của $d_1, d_2$ — 4 đáp án song song/trùng/cắt/chéoTrắc nghiệmtwo_lines_relative_position_mcq(3 câu)

14. Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng — song song / trùng / cắtTrắc nghiệmtwo_planes_parallel_check(3 câu)

15. Vị trí tương đối 2 mặt cầu — so $d(I_1, I_2)$ với $|R_1 - R_2|$ và $R_1 + R_2$Trắc nghiệmtwo_spheres_relative_position(3 câu)

16. Đúng/sai về vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng trong $Oxyz$Đúng / Sairelative_position_independent_facts(3 câu)

17. Đúng/sai: mặt cầu & mặt phẳng cho bằng PHƯƠNG TRÌNH (tính $d$ so $R$, bẫy khái niệm)Đúng / Saisphere_plane_relative_facts_from_equation_tf(3 câu)

18. Đếm cấu hình vị trí tương đối — đáp số nguyên nhỏTrả lời ngắncount_lines_equidistant_or_through_skew_sa(6 câu)

20. Vận dụng cao. Cho đường thẳng $d$ (qua $P_0$, VTCP $\vec u$) và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec n$Trả lời ngắnmin_length_segment_line_cuts_axis_and_line_parallel_plane_sa(6 câu)

21. Số giao điểm — đáp án 1 / 0 / -1 (vô số)Trả lời ngắnnumber_of_intersection_line_plane(3 câu)

22. Số điểm chung mặt cầu / mặt phẳng — 0 / 1 / -1 (vô số)Trả lời ngắnsphere_plane_intersection_count(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $d$, chọn đường thẳng SONG SONG với $d$ trong 4 phương ánTrắc nghiệm`choose_line_parallel_to_given_line_mcq`(3 câu)

2. Cho $(P)$, chọn đường thẳng SONG SONG với $(P)$ (phân biệt với nằm trong $(P)$)Trắc nghiệm`choose_line_parallel_to_plane_mcq`(6 câu)

3. Cho $d$, chọn đường thẳng CHÉO NHAU với $d$Trắc nghiệm`choose_line_skew_to_given_line_mcq`(3 câu)

4. Ứng dụng: mô hình hoá tấm phẳng (mái nhà/pin/vách...) trong $Oxyz$ rồi xác định cặp mặt phẳng SONG SONG hoặc mặt phẳng VUÔNG GÓC VỚI SÀNTrắc nghiệm`design_box_faces_relative_position_application_mcq`(3 câu)

5. Tìm $m$ để mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ cho trướcTrắc nghiệm`find_m_plane_cuts_sphere_circle_radius_mcq`(3 câu)

6. Tìm $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$ — VTPT cùng phươngTrắc nghiệm`find_m_two_planes_parallel_mcq`(6 câu)

7. Tìm $m$ để $(\alpha) \perp (\beta)$ — điều kiện $\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$Trắc nghiệm`find_m_two_planes_perpendicular_mcq`(6 câu)

8. Tìm $m$ để hai mặt cầu TIẾP XÚC NGOÀITrắc nghiệm`find_m_two_spheres_tangent_outside_mcq`(3 câu)

9. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệm`line_plane_relative_position`(3 câu)

10. ĐỌC HÌNH lát cắt mặt cầu–mặt phẳng: nhìn hình + số liệu $R, d$ → so $d$ với $R$ để kết luận vị trí tương đối, và tính bán kính giao tuyến nếu cắtTrắc nghiệm`read_figure_sphere_plane_position_mcq`(3 câu)

11. ĐẢO NGƯỢC: cho điểm $A$ và $(P)$, chọn phương trình đường thẳng có VỊ TRÍ đã yêu cầu với $(P)$ (nằm trong / song song / cắt-không-vuông-góc / vuông góc)Trắc nghiệm`reverse_find_line_eq_given_relation_to_plane_mcq`(6 câu)

12. Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng dựa vào $d(I, (P))$ vs $R$Trắc nghiệm`sphere_plane_relative`(3 câu)

13. Xác định vị trí tương đối của $d_1, d_2$ — 4 đáp án song song/trùng/cắt/chéoTrắc nghiệm`two_lines_relative_position_mcq`(3 câu)

14. Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng — song song / trùng / cắtTrắc nghiệm`two_planes_parallel_check`(3 câu)

15. Vị trí tương đối 2 mặt cầu — so $d(I_1, I_2)$ với $|R_1 - R_2|$ và $R_1 + R_2$Trắc nghiệm`two_spheres_relative_position`(3 câu)

16. Đúng/sai về vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng trong $Oxyz$Đúng / Sai`relative_position_independent_facts`(3 câu)

17. Đúng/sai: mặt cầu & mặt phẳng cho bằng PHƯƠNG TRÌNH (tính $d$ so $R$, bẫy khái niệm)Đúng / Sai`sphere_plane_relative_facts_from_equation_tf`(3 câu)

18. Đếm cấu hình vị trí tương đối — đáp số nguyên nhỏTrả lời ngắn`count_lines_equidistant_or_through_skew_sa`(6 câu)

20. Vận dụng cao. Cho đường thẳng $d$ (qua $P_0$, VTCP $\vec u$) và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec n$Trả lời ngắn`min_length_segment_line_cuts_axis_and_line_parallel_plane_sa`(6 câu)

21. Số giao điểm — đáp án 1 / 0 / -1 (vô số)Trả lời ngắn`number_of_intersection_line_plane`(3 câu)

22. Số điểm chung mặt cầu / mặt phẳng — 0 / 1 / -1 (vô số)Trả lời ngắn`sphere_plane_intersection_count`(3 câu)