Định lí Pythagore

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Định lý Pythagore

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền = tổng bình phương 2 cạnh góc vuông: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (\text{vuông tại } A).$$ Ký hiệu chung: $c^2 = a^2 + b^2$ với $c$ = huyền, $a, b$ = 2 cạnh góc vuông.

§2. Công thức(1)

2.1

Tính cạnh tam giác vuông

Cho tam giác vuông tại $A$, biết 2 trong 3 cạnh:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ (cạnh huyền).
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$ (cạnh góc vuông, biết huyền + cạnh kia).
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: bộ ba Pythagore quen thuộc

Các bộ ba số nguyên thoả $a^2 + b^2 = c^2$:

$(3, 4, 5)$ và bội: $(6, 8, 10), (9, 12, 15), \dots$
$(5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)$.

→ Nhận dạng nhanh trong bài tập để bỏ qua tính căn.

Bài tập

1. Vận dụng: đường cao $AH$ chia tam giác thành hai tam giác vuông; áp định lí Pythagore hai lần để tính cạnh đáy $BC = BH + CH$Trắc nghiệm`base_from_altitude_two_triangles`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ tại $H$ ($H$ nằm giữa $B$ và $C$). Biết $AB = 17$, $AC = 25$ và $AH = 15$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Tam giác ABC, đường cao AH xuống BC, AB=17, AC=25, AH=15.

A.$BC = 28$

B.$BC = 29$

C.$BC = 27$

D.$BC = 30$

Câu 2.Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ tại $H$ ($H$ nằm giữa $B$ và $C$). Biết $AB = 13$, $AC = 20$ và $AH = 12$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Tam giác ABC, đường cao AH xuống BC, AB=13, AC=20, AH=12.

A.$BC = 23$

B.$BC = 21$

C.$BC = 22$

D.$BC = 20$

Câu 3.Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ tại $H$ ($H$ nằm giữa $B$ và $C$). Biết $AB = 15$, $AC = 37$ và $AH = 12$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Tam giác ABC, đường cao AH xuống BC, AB=15, AC=37, AH=12.

A.$BC = 44$

B.$BC = 45$

C.$BC = 40$

D.$BC = 43$

2. Vận dụng cao: bài toán cột (cây tre) gãy — lập phương trình Pythagore với ẩn, khai triển để bậc hai triệt tiêu, đưa về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệm`broken_pole_pythagoras`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một cây cột (cây tre) mọc thẳng đứng cao $32$ m thì bị gãy. Phần trên gãy gập xuống, ngọn cây chạm đất tại một điểm cách gốc $16$ m (phần dưới vẫn dính liền với phần trên tại chỗ gãy). Hỏi cây bị gãy ở độ cao bao nhiêu mét so với gốc?

Cây cột cao 32 m bị gãy, ngọn chạm đất cách gốc 16 m.

A.$27 \text{ m}$

B.$12 \text{ m}$

C.$16 \text{ m}$

D.$35 \text{ m}$

Câu 5.Một cây cột (cây tre) mọc thẳng đứng cao $27$ m thì bị gãy. Phần trên gãy gập xuống, ngọn cây chạm đất tại một điểm cách gốc $9$ m (phần dưới vẫn dính liền với phần trên tại chỗ gãy). Hỏi cây bị gãy ở độ cao bao nhiêu mét so với gốc?

Cây cột cao 27 m bị gãy, ngọn chạm đất cách gốc 9 m.

A.$25 \text{ m}$

B.$18 \text{ m}$

C.$28 \text{ m}$

D.$12 \text{ m}$

Câu 6.Một cây cột (cây tre) mọc thẳng đứng cao $25$ m thì bị gãy. Phần trên gãy gập xuống, ngọn cây chạm đất tại một điểm cách gốc $5$ m (phần dưới vẫn dính liền với phần trên tại chỗ gãy). Hỏi cây bị gãy ở độ cao bao nhiêu mét so với gốc?

Cây cột cao 25 m bị gãy, ngọn chạm đất cách gốc 5 m.

A.$12 \text{ m}$

B.$20 \text{ m}$

C.$25 \text{ m}$

D.$24 \text{ m}$

3. Tính cạnh huyền tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrắc nghiệm`find_hypotenuse`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là $7$ và $24$. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

A.$c = 168$

B.$c = 31$

C.$c = 25$

D.$c = 17$

Câu 8.Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là $9$ và $12$. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

A.$c = 21$

B.$c = 108$

C.$c = 3$

D.$c = 15$

Câu 9.Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là $5$ và $12$. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

A.$c = 13$

B.$c = 7$

C.$c = 60$

D.$c = 17$

4. Quan sát tam giác vuông trong hình với 2 cạnh góc vuông được ghi, tính cạnh huyềnTrắc nghiệm`find_hypotenuse_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông được ghi. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

Tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông 5 và 12

A.$c = 13$

B.$c = 17$

C.$c = 60$

D.$c = 7$

Câu 11.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông được ghi. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

Tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông 5 và 12

A.$c = 60$

B.$c = 17$

C.$c = 7$

D.$c = 13$

Câu 12.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông được ghi. Tính độ dài cạnh huyền $c$.

Tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông 8 và 15

A.$c = 23$

B.$c = 17$

C.$c = 120$

D.$c = 7$

5. Tính một cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông kiaTrắc nghiệm`find_leg`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho tam giác vuông có cạnh huyền dài $41$ và một cạnh góc vuông dài $9$. Tính cạnh góc vuông còn lại.

A.$b = 32$

B.$b = 40$

C.$b = 41$

D.$b = 50$

Câu 14.Cho tam giác vuông có cạnh huyền dài $10$ và một cạnh góc vuông dài $8$. Tính cạnh góc vuông còn lại.

A.$b = 18$

B.$b = 7$

C.$b = 2$

D.$b = 6$

Câu 15.Cho tam giác vuông có cạnh huyền dài $25$ và một cạnh góc vuông dài $7$. Tính cạnh góc vuông còn lại.

A.$b = 25$

B.$b = 32$

C.$b = 18$

D.$b = 24$

6. Nhận biết cạnh huyền của tam giác vuông (cạnh đối diện góc vuông / dài nhất)Trắc nghiệm`identify_hypotenuse_basic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trong ba cạnh $AB$, $AC$, $BC$, cạnh nào là cạnh huyền?

Tam giác ABC vuông tại A

A.Cả ba cạnh bằng nhau.

B.$BC$

C.$AC$

D.$AB$

Câu 17.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trong ba cạnh $AB$, $AC$, $BC$, cạnh nào là cạnh huyền?

Tam giác ABC vuông tại A

A.$AB$

B.Cả ba cạnh bằng nhau.

C.$AC$

D.$BC$

Câu 18.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trong ba cạnh $AB$, $AC$, $BC$, cạnh nào là cạnh huyền?

Tam giác ABC vuông tại A

A.$AB$

B.Cả ba cạnh bằng nhau.

C.$BC$

D.$AC$

7. Áp dụng Pythagore cho hình chữ nhật: tính đường chéo biết 2 cạnhTrắc nghiệm`rectangle_diagonal`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Một hình chữ nhật có hai cạnh dài $8$ cm và $15$ cm. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

A.$d = 46$

B.$d = 23$

C.$d = 17$

D.$d = 7$

Câu 20.Một hình chữ nhật có hai cạnh dài $9$ cm và $12$ cm. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

A.$d = 3$

B.$d = 21$

C.$d = 15$

D.$d = 42$

Câu 21.Một hình chữ nhật có hai cạnh dài $10$ cm và $24$ cm. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

A.$d = 14$

B.$d = 26$

C.$d = 34$

D.$d = 68$

8. TF cho tam giác vuông cụ thể trong hìnhĐúng / Sai`pythagoras_tf_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông $a = 9$ và $b = 12$. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Tam giác vuông cạnh 9, 12

a)Cạnh huyền dài hơn mỗi cạnh góc vuông.

b)Diện tích tam giác bằng $54$.

c)Cạnh huyền bằng $21$.

d)Cạnh huyền nhỏ hơn tổng hai cạnh góc vuông.

Câu 23.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông $a = 5$ và $b = 12$. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Tam giác vuông cạnh 5, 12

a)Tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng $169$.

b)Cạnh huyền bằng $17$.

c)Cạnh huyền nhỏ hơn tổng hai cạnh góc vuông.

d)Cạnh huyền dài hơn mỗi cạnh góc vuông.

Câu 24.Quan sát tam giác vuông trong hình với hai cạnh góc vuông $a = 9$ và $b = 12$. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Tam giác vuông cạnh 9, 12

a)Cạnh huyền bằng $21$.

b)Tam giác này là tam giác vuông.

c)Cạnh huyền nhỏ hơn tổng hai cạnh góc vuông.

d)Tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng $225$.

9. Cho 3 cạnh, kiểm tra tam giác có vuông không — trả về 1 (vuông) hoặc 0Trả lời ngắn`check_right_triangle_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB = 8$ cm, $AC = 15$ cm và $BC = 17$ cm. Tam giác $ABC$ có vuông tại $A$ hay không? Nhập $1$ nếu có, nhập $0$ nếu không.

Tam giác ABC với AB=8, AC=15, BC=17

Câu 26.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB = 9$ cm, $AC = 40$ cm và $BC = 41$ cm. Tam giác $ABC$ có vuông tại $A$ hay không? Nhập $1$ nếu có, nhập $0$ nếu không.

Tam giác ABC với AB=9, AC=40, BC=41

Câu 27.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB = 8$ cm, $AC = 9$ cm và $BC = 12$ cm. Tam giác $ABC$ có vuông tại $A$ hay không? Nhập $1$ nếu có, nhập $0$ nếu không.

Tam giác ABC với AB=8, AC=9, BC=12

10. Cho 2 cạnh tam giác vuông, tìm cạnh còn lại — đảo random vị trí ẩnTrả lời ngắn`find_third_side`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 5$ cm và một cạnh góc vuông $AB = 3$ cm. Tính cạnh góc vuông còn lại $AC$ (cm).

Tam giác vuông ABC, AB=3, AC=?, BC=5

Câu 29.Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có hai cạnh góc vuông $AB = 7$ cm và $AC = 24$ cm. Tính độ dài cạnh huyền $BC$ (cm).

Tam giác vuông ABC, AB=7, AC=24, BC=?

Câu 30.Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 17$ cm và một cạnh góc vuông $AB = 8$ cm. Tính cạnh góc vuông còn lại $AC$ (cm).

Tam giác vuông ABC, AB=8, AC=?, BC=17

11. Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác cân — áp PythagoreTrả lời ngắn`isoceles_altitude_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = AC = 13$ cm và $BC = 10$ cm. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính độ dài đường cao $AH$ (cm).

Tam giác cân ABC, AB=AC=13, BC=10, đường cao AH cần tìm

Câu 32.Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = AC = 5$ cm và $BC = 8$ cm. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính độ dài đường cao $AH$ (cm).

Tam giác cân ABC, AB=AC=5, BC=8, đường cao AH cần tìm

Câu 33.Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = AC = 15$ cm và $BC = 18$ cm. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính độ dài đường cao $AH$ (cm).

Tam giác cân ABC, AB=AC=15, BC=18, đường cao AH cần tìm

12. Đường chéo hình chữ nhật biết 2 cạnh — áp PythagoreTrả lời ngắn`rectangle_diagonal_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 9$ cm và $BC = 40$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$ (cm).

Hình chữ nhật 9 × 40 với đường chéo cần tìm

Câu 35.Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 7$ cm và $BC = 24$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$ (cm).

Hình chữ nhật 7 × 24 với đường chéo cần tìm

Câu 36.Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$ cm và $BC = 4$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$ (cm).

Hình chữ nhật 3 × 4 với đường chéo cần tìm

13. Tính diện tích tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrả lời ngắn`right_triangle_area_from_legs`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm và $AC = 12$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$ (cm², không kèm đơn vị).

Tam giác vuông ABC, AB=5, AC=12, BC=

Câu 38.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm và $AC = 8$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$ (cm², không kèm đơn vị).

Tam giác vuông ABC, AB=6, AC=8, BC=

Câu 39.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 7$ cm và $AC = 24$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$ (cm², không kèm đơn vị).

Tam giác vuông ABC, AB=7, AC=24, BC=

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Vận dụng: đường cao $AH$ chia tam giác thành hai tam giác vuông; áp định lí Pythagore hai lần để tính cạnh đáy $BC = BH + CH$Trắc nghiệmbase_from_altitude_two_triangles(3 câu)

2. Vận dụng cao: bài toán cột (cây tre) gãy — lập phương trình Pythagore với ẩn, khai triển để bậc hai triệt tiêu, đưa về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệmbroken_pole_pythagoras(3 câu)

3. Tính cạnh huyền tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrắc nghiệmfind_hypotenuse(3 câu)

4. Quan sát tam giác vuông trong hình với 2 cạnh góc vuông được ghi, tính cạnh huyềnTrắc nghiệmfind_hypotenuse_from_figure(3 câu)

5. Tính một cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông kiaTrắc nghiệmfind_leg(3 câu)

6. Nhận biết cạnh huyền của tam giác vuông (cạnh đối diện góc vuông / dài nhất)Trắc nghiệmidentify_hypotenuse_basic(3 câu)

7. Áp dụng Pythagore cho hình chữ nhật: tính đường chéo biết 2 cạnhTrắc nghiệmrectangle_diagonal(3 câu)

8. TF cho tam giác vuông cụ thể trong hìnhĐúng / Saipythagoras_tf_from_figure(3 câu)

9. Cho 3 cạnh, kiểm tra tam giác có vuông không — trả về 1 (vuông) hoặc 0Trả lời ngắncheck_right_triangle_sa(3 câu)

10. Cho 2 cạnh tam giác vuông, tìm cạnh còn lại — đảo random vị trí ẩnTrả lời ngắnfind_third_side(3 câu)

11. Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác cân — áp PythagoreTrả lời ngắnisoceles_altitude_sa(3 câu)

12. Đường chéo hình chữ nhật biết 2 cạnh — áp PythagoreTrả lời ngắnrectangle_diagonal_sa(3 câu)

13. Tính diện tích tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrả lời ngắnright_triangle_area_from_legs(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng: đường cao $AH$ chia tam giác thành hai tam giác vuông; áp định lí Pythagore hai lần để tính cạnh đáy $BC = BH + CH$Trắc nghiệm`base_from_altitude_two_triangles`(3 câu)

2. Vận dụng cao: bài toán cột (cây tre) gãy — lập phương trình Pythagore với ẩn, khai triển để bậc hai triệt tiêu, đưa về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệm`broken_pole_pythagoras`(3 câu)

3. Tính cạnh huyền tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrắc nghiệm`find_hypotenuse`(3 câu)

4. Quan sát tam giác vuông trong hình với 2 cạnh góc vuông được ghi, tính cạnh huyềnTrắc nghiệm`find_hypotenuse_from_figure`(3 câu)

5. Tính một cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông kiaTrắc nghiệm`find_leg`(3 câu)

6. Nhận biết cạnh huyền của tam giác vuông (cạnh đối diện góc vuông / dài nhất)Trắc nghiệm`identify_hypotenuse_basic`(3 câu)

7. Áp dụng Pythagore cho hình chữ nhật: tính đường chéo biết 2 cạnhTrắc nghiệm`rectangle_diagonal`(3 câu)

8. TF cho tam giác vuông cụ thể trong hìnhĐúng / Sai`pythagoras_tf_from_figure`(3 câu)

9. Cho 3 cạnh, kiểm tra tam giác có vuông không — trả về 1 (vuông) hoặc 0Trả lời ngắn`check_right_triangle_sa`(3 câu)

10. Cho 2 cạnh tam giác vuông, tìm cạnh còn lại — đảo random vị trí ẩnTrả lời ngắn`find_third_side`(3 câu)

11. Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác cân — áp PythagoreTrả lời ngắn`isoceles_altitude_sa`(3 câu)

12. Đường chéo hình chữ nhật biết 2 cạnh — áp PythagoreTrả lời ngắn`rectangle_diagonal_sa`(3 câu)

13. Tính diện tích tam giác vuông biết hai cạnh góc vuôngTrả lời ngắn`right_triangle_area_from_legs`(3 câu)